Номер 16.4, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.4. а) Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, боковая сторона — 5 см. Найдите площадь треугольника.

б) Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, площадь треугольника равна $60 \text{ см}^2$. Найдите периметр треугольника.

а) Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.
Дано: основание $a = 6$ см, боковая сторона $b = 5$ см.
Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Она делит основание на два равных отрезка.
Таким образом, высота $h$, боковая сторона $b$ и половина основания $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, где $b$ — гипотенуза, а $h$ и $\frac{a}{2}$ — катеты.
Найдем половину основания: $\frac{6}{2} = 3$ см.
По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$.
Подставим известные значения: $h^2 + 3^2 = 5^2$.
$h^2 + 9 = 25$
$h^2 = 25 - 9 = 16$
$h = \sqrt{16} = 4$ см.
Теперь найдем площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².
Ответ: 12 см².

б) Для нахождения периметра равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $P = a + 2b$, где $a$ — основание, а $b$ — боковая сторона.
Дано: основание $a = 10$ см, площадь $S = 60$ см².
Сначала найдем высоту треугольника $h$ из формулы площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.
$60 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$
$60 = 5 \cdot h$
$h = \frac{60}{5} = 12$ см.
Как и в предыдущей задаче, высота $h$, боковая сторона $b$ и половина основания $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник.
Найдем половину основания: $\frac{10}{2} = 5$ см.
По теореме Пифагора найдем боковую сторону $b$ (гипотенузу): $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.
Подставим известные значения: $b^2 = 12^2 + 5^2$.
$b^2 = 144 + 25 = 169$
$b = \sqrt{169} = 13$ см.
Теперь найдем периметр треугольника:
$P = a + 2b = 10 + 2 \cdot 13 = 10 + 26 = 36$ см.
Ответ: 36 см.