Номер 16.6, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.6. a) Стороны прямоугольника $ABCD$ равны 20 см и 15 см, $BH$ — высота треугольника $ABC$ (рис. 148). Найдите длину $BH$.

б) Стороны прямоугольника $ABCD$ равны 16 см и 12 см, $DF$ — высота треугольника $ACD$ (рис. 149). Найдите длину $DF$.

а)

Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами 20 см и 15 см. Согласно рисунку 148, $BC = 20$ см и $CD = 15$ см. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, а все углы прямые. Следовательно, $AB = CD = 15$ см, $AD = BC = 20$ см и $\angle B = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $\angle B = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным с катетами $AB = 15$ см и $BC = 20$ см. $AC$ — его гипотенуза. Найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$ см.

В задаче дано, что $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов или как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

Приравняв оба выражения для площади, получим:
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$
$AB \cdot BC = AC \cdot BH$

Теперь подставим известные значения и выразим длину высоты $BH$:
$15 \cdot 20 = 25 \cdot BH$
$300 = 25 \cdot BH$
$BH = \frac{300}{25} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами 16 см и 12 см. Согласно рисунку 149, $BC = 16$ см и $CD = 12$ см. По свойствам прямоугольника, $AD = BC = 16$ см и $\angle D = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $\angle D = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным с катетами $AD = 16$ см и $CD = 12$ см. $AC$ — его гипотенуза. Найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$AC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$
$AC = \sqrt{400} = 20$ см.

В задаче дано, что $DF$ — высота треугольника $ACD$, проведенная к стороне $AC$. Используем метод площадей, как и в предыдущем пункте. Площадь треугольника $ACD$ равна:
$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD$
$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DF$

Приравняв выражения для площади, получим:
$AD \cdot CD = AC \cdot DF$

Подставим известные значения и выразим длину высоты $DF$:
$16 \cdot 12 = 20 \cdot DF$
$192 = 20 \cdot DF$
$DF = \frac{192}{20} = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Ответ: 9,6 см.