Номер 16.12, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.12. a) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, его периметр равен 30 см. Найдите площадь треугольника.

б) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 9 см, его периметр равен 34 см. Найдите площадь треугольника.

а) По условию, дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 8 см, а периметр равен 30 см. Обозначим боковую сторону как $a$, а основание как $c$. Таким образом, $a = 8$ см, а периметр $P = 30$ см.
Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле $P = 2a + c$.
Выразим и найдем длину основания $c$:
$c = P - 2a = 30 - 2 \cdot 8 = 30 - 16 = 14$ см.
Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ch$, где $h$ — высота, проведенная к основанию $c$.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание пополам. Она образует два равных прямоугольных треугольника, в которых боковая сторона $a$ является гипотенузой, а высота $h$ и половина основания $\frac{c}{2}$ — катетами.
Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $a^2 = h^2 + (\frac{c}{2})^2$.
$h = \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2} = \sqrt{8^2 - (\frac{14}{2})^2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{64 - 49} = \sqrt{15}$ см.
Теперь можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \sqrt{15} = 7\sqrt{15} \text{ см}^2$.
Ответ: $7\sqrt{15} \text{ см}^2$.

б) По условию, боковая сторона равнобедренного треугольника $a = 9$ см, а его периметр $P = 34$ см.
Найдем длину основания $c$, используя формулу периметра $P = 2a + c$:
$c = P - 2a = 34 - 2 \cdot 9 = 34 - 18 = 16$ см.
Для нахождения площади проведем к основанию высоту $h$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и катетами $h$ и $\frac{c}{2}$:
$h = \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2} = \sqrt{9^2 - (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{9^2 - 8^2} = \sqrt{81 - 64} = \sqrt{17}$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2}ch$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{17} = 8\sqrt{17} \text{ см}^2$.
Ответ: $8\sqrt{17} \text{ см}^2$.