Номер 16.16, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.16. а) Острый угол ромба равен $60^{\circ}$, меньшая диагональ равна 10 см. Найдите площадь ромба.

б) Острый угол ромба равен $60^{\circ}$, меньшая диагональ равна 12 см. Найдите площадь ромба.

а)

Дано: ромб, острый угол $\alpha = 60^\circ$, меньшая диагональ $d_1 = 10$ см.

Меньшая диагональ ромба соединяет вершины тупых углов и лежит напротив острого угла. Эта диагональ делит ромб на два треугольника.

Рассмотрим один из этих треугольников. Две его стороны — это стороны ромба, которые равны между собой. Угол между ними — это острый угол ромба, равный $60^\circ$. Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним.

Следовательно, все стороны этого треугольника равны. Это означает, что сторона ромба $a$ равна его меньшей диагонали $d_1$.

$a = d_1 = 10$ см.

Площадь ромба можно найти по формуле: $S = a^2 \sin\alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Подставим наши значения:

$S = 10^2 \cdot \sin(60^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}$ см².

Другой способ:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Мы знаем, что $d_1 = 10$ см, и $a=10$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Его гипотенуза - сторона ромба $a$, а катеты - половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

$\frac{d_1}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора: $(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$.

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Значит, большая диагональ $d_2 = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3}$ см².

Ответ: $50\sqrt{3}$ см².

б)

Дано: ромб, острый угол $\alpha = 60^\circ$, меньшая диагональ $d_1 = 12$ см.

Решение аналогично пункту а). Поскольку острый угол ромба равен $60^\circ$, ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Сторона ромба $a$ равна его меньшей диагонали.

$a = d_1 = 12$ см.

Воспользуемся формулой площади ромба через сторону и угол между сторонами: $S = a^2 \sin\alpha$.

Подставим известные значения:

$S = 12^2 \cdot \sin(60^\circ) = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72\sqrt{3}$ см².

Ответ: $72\sqrt{3}$ см².