Номер 16.9, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.9. а) Площадь равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$ см$^2$.

Найдите длину биссектрисы треугольника.

б) Площадь равностороннего треугольника равна $3\sqrt{3}$ см$^2$.

Найдите длину медианы треугольника.

а)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из любой вершины, совпадает с его высотой и медианой. Поэтому, чтобы найти длину биссектрисы, нам нужно найти длину высоты треугольника.

Площадь $S$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию, площадь равна $12\sqrt{3}$ см². Подставим это значение в формулу и найдем сторону $a$:
$12\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получим:
$12 = \frac{a^2}{4}$
$a^2 = 12 \cdot 4 = 48$
$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту $h$, которая и является искомой биссектрисой. Формула высоты равностороннего треугольника через сторону:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим найденное значение стороны $a$:
$h = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Следовательно, длина биссектрисы равна 6 см.

Ответ: 6 см.

б)

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная из любой вершины, является также его высотой и биссектрисой. Следовательно, задача сводится к нахождению высоты треугольника.

Воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника $S$ со стороной $a$:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию, $S = 3\sqrt{3}$ см². Найдем сторону $a$:
$3\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
$3 = \frac{a^2}{4}$
$a^2 = 3 \cdot 4 = 12$
$a = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту $h$ (которая равна медиане) по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим найденное значение $a$:
$h = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ см.

Таким образом, длина медианы составляет 3 см.

Ответ: 3 см.