Номер 16.15, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.15. a) Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 6 см, 8 см и $2\sqrt{7}$ см.

б) Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 5 см, 7 см и $2\sqrt{6}$ см.

Для нахождения площади треугольника, когда известны все три его стороны, удобно использовать формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $p$ – его полупериметр, который вычисляется по формуле $p = \frac{a+b+c}{2}$.

а)

Даны стороны треугольника: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 2\sqrt{7}$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{6 + 8 + 2\sqrt{7}}{2} = \frac{14 + 2\sqrt{7}}{2} = 7 + \sqrt{7}$ см.

2. Вычислим значения выражений $(p-a)$, $(p-b)$ и $(p-c)$:
$p-a = (7 + \sqrt{7}) - 6 = 1 + \sqrt{7}$
$p-b = (7 + \sqrt{7}) - 8 = \sqrt{7} - 1$
$p-c = (7 + \sqrt{7}) - 2\sqrt{7} = 7 - \sqrt{7}$

3. Подставим найденные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{(7 + \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 1)(7 - \sqrt{7})}$

Сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$S = \sqrt{[(7 + \sqrt{7})(7 - \sqrt{7})] \cdot [(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)]}$
$S = \sqrt{(7^2 - (\sqrt{7})^2) \cdot ((\sqrt{7})^2 - 1^2)}$
$S = \sqrt{(49 - 7) \cdot (7 - 1)}$
$S = \sqrt{42 \cdot 6} = \sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$ см².

Ответ: $6\sqrt{7}$ см².

б)

Даны стороны треугольника: $a = 5$ см, $b = 7$ см, $c = 2\sqrt{6}$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{5 + 7 + 2\sqrt{6}}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{6}}{2} = 6 + \sqrt{6}$ см.

2. Вычислим значения выражений $(p-a)$, $(p-b)$ и $(p-c)$:
$p-a = (6 + \sqrt{6}) - 5 = 1 + \sqrt{6}$
$p-b = (6 + \sqrt{6}) - 7 = \sqrt{6} - 1$
$p-c = (6 + \sqrt{6}) - 2\sqrt{6} = 6 - \sqrt{6}$

3. Подставим найденные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{(6 + \sqrt{6})(1 + \sqrt{6})(\sqrt{6} - 1)(6 - \sqrt{6})}$

Сгруппируем множители попарно:
$S = \sqrt{[(6 + \sqrt{6})(6 - \sqrt{6})] \cdot [(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{6} - 1)]}$
$S = \sqrt{(6^2 - (\sqrt{6})^2) \cdot ((\sqrt{6})^2 - 1^2)}$
$S = \sqrt{(36 - 6) \cdot (6 - 1)}$
$S = \sqrt{30 \cdot 5} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см².

Ответ: $5\sqrt{6}$ см².