Номер 16.17, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.17. a) Стороны треугольника равны $(a + 3)$ см, $(a + 4)$ см и $(2a - 13)$ см. Периметр треугольника равен 30 см. Найдите площадь треугольника.

б) Стороны треугольника равны $(a + 3)$ см, $3a$ см и $(3a + 2)$ см. Периметр треугольника равен 40 см. Найдите площадь треугольника.

а)

Периметр треугольника – это сумма длин его сторон. По условию, стороны равны $(a + 3)$ см, $(a + 4)$ см и $(2a - 13)$ см, а периметр равен $30$ см. Составим и решим уравнение:

$(a + 3) + (a + 4) + (2a - 13) = 30$

$a + 3 + a + 4 + 2a - 13 = 30$

$4a - 6 = 30$

$4a = 36$

$a = 9$

Теперь найдем длины сторон треугольника, подставив значение $a = 9$:
Первая сторона: $a + 3 = 9 + 3 = 12$ см.
Вторая сторона: $a + 4 = 9 + 4 = 13$ см.
Третья сторона: $2a - 13 = 2 \cdot 9 - 13 = 18 - 13 = 5$ см.

Итак, мы имеем треугольник со сторонами $5$ см, $12$ см и $13$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$13^2 = 169$

Поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$, треугольник является прямоугольным, где катеты равны $5$ см и $12$ см, а гипотенуза — $13$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.

б)

Стороны треугольника равны $(a + 3)$ см, $3a$ см и $(3a + 2)$ см, а периметр равен $40$ см. Составим уравнение для нахождения $a$:

$(a + 3) + 3a + (3a + 2) = 40$

$a + 3 + 3a + 3a + 2 = 40$

$7a + 5 = 40$

$7a = 35$

$a = 5$

Найдем длины сторон треугольника, подставив $a = 5$:
Первая сторона: $a + 3 = 5 + 3 = 8$ см.
Вторая сторона: $3a = 3 \cdot 5 = 15$ см.
Третья сторона: $3a + 2 = 3 \cdot 5 + 2 = 15 + 2 = 17$ см.

Мы получили треугольник со сторонами $8$ см, $15$ см и $17$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$17^2 = 289$

Так как $8^2 + 15^2 = 17^2$, треугольник прямоугольный с катетами $8$ см и $15$ см.

Найдем его площадь как половину произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: $60 \text{ см}^2$.