Номер 16.10, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.10. a) Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 4 см, высота, проведенная к основанию, равна $\sqrt{7}$ см. Найдите площадь треугольника.

б) Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 6 см, высота, проведенная к основанию, равна $\sqrt{11}$ см. Найдите площадь треугольника.

а) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Она делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенузой является боковая сторона равнобедренного треугольника ($l = 4$ см), а катетами — высота ($h = \sqrt{7}$ см) и половина основания (обозначим ее как $x$).
По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + x^2$.
Найдем половину основания $x$:
$x^2 = l^2 - h^2 = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$
$x = \sqrt{9} = 3$ см.
Следовательно, длина всего основания $a$ равна $2x$:
$a = 2 \times 3 = 6$ см.
Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$:
$S = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$ см².
Ответ: $3\sqrt{7}$ см².

б) Аналогично пункту а), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной ($l = 6$ см), высотой ($h = \sqrt{11}$ см) и половиной основания ($x$). Боковая сторона является гипотенузой.
По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + x^2$.
Найдем половину основания $x$:
$x^2 = l^2 - h^2 = 6^2 - (\sqrt{11})^2 = 36 - 11 = 25$
$x = \sqrt{25} = 5$ см.
Длина всего основания $a$ равна $2x$:
$a = 2 \times 5 = 10$ см.
Найдем площадь треугольника ($S$) по формуле $S = \frac{1}{2}ah$:
$S = \frac{1}{2} \times 10 \times \sqrt{11} = 5\sqrt{11}$ см².
Ответ: $5\sqrt{11}$ см².