Номер 16.7, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.7. a) Катеты прямоугольного треугольника площадью $39 \text{ см}^2$ относятся как 2 : 3. Найдите длину высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

б) Катеты прямоугольного треугольника площадью $34 \text{ см}^2$ относятся как 1 : 4. Найдите длину высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. По условию, их отношение $a : b = 2 : 3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда катеты можно выразить как $a = 2x$ и $b = 3x$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим в формулу выражения для катетов и известное значение площади $S = 39$ см²:

$39 = \frac{1}{2}(2x)(3x)$
$39 = 3x^2$
$x^2 = \frac{39}{3} = 13$
$x = \sqrt{13}$

Теперь найдем длины катетов:

$a = 2x = 2\sqrt{13}$ см
$b = 3x = 3\sqrt{13}$ см

Для нахождения высоты, проведенной из вершины прямого угла, нам нужна длина гипотенузы $c$. Найдем ее по теореме Пифагора $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 + (3\sqrt{13})^2} = \sqrt{4 \cdot 13 + 9 \cdot 13} = \sqrt{13(4+9)} = \sqrt{13 \cdot 13} = 13$ см.

Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу $c$ и высоту $h_c$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$. Выразим отсюда искомую высоту $h_c$:

$h_c = \frac{2S}{c}$

Подставим известные значения:

$h_c = \frac{2 \cdot 39}{13} = \frac{78}{13} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. По условию, их отношение $a : b = 1 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда катеты можно выразить как $a = x$ и $b = 4x$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим в формулу выражения для катетов и известное значение площади $S = 34$ см²:

$34 = \frac{1}{2}(x)(4x)$
$34 = 2x^2$
$x^2 = \frac{34}{2} = 17$
$x = \sqrt{17}$

Теперь найдем длины катетов:

$a = x = \sqrt{17}$ см
$b = 4x = 4\sqrt{17}$ см

Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{(\sqrt{17})^2 + (4\sqrt{17})^2} = \sqrt{17 + 16 \cdot 17} = \sqrt{17(1+16)} = \sqrt{17 \cdot 17} = 17$ см.

Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу $c$ и высоту $h_c$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$. Выразим отсюда искомую высоту $h_c$:

$h_c = \frac{2S}{c}$

Подставим известные значения:

$h_c = \frac{2 \cdot 34}{17} = \frac{68}{17} = 4$ см.

Ответ: 4 см.