Номер 17.3, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.3. a) Длины оснований трапеции находятся в отношении $2 : 5$, высота трапеции равна 9 см, разность длин оснований трапеции равна 18 см. Найдите площадь трапеции.

б) Длины оснований трапеции находятся в отношении $3 : 7$, высота трапеции равна 11 см. Найдите разность длин оснований трапеции, если ее площадь равна 165 см$^{\text{2}}$.

а)

Пусть длины оснований трапеции равны $a$ и $b$. По условию, их отношение равно $2:5$. Это можно записать как $a = 2x$ и $b = 5x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Также по условию, разность длин оснований равна 18 см. Составим уравнение:
$b - a = 18$
$5x - 2x = 18$
$3x = 18$
$x = \frac{18}{3} = 6$ см.

Теперь найдем длины оснований:
$a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.
$b = 5x = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
где $h$ — высота трапеции. По условию, $h = 9$ см.

Подставим найденные значения в формулу:
$S = \frac{12 + 30}{2} \cdot 9 = \frac{42}{2} \cdot 9 = 21 \cdot 9 = 189$ см².

Ответ: 189 см².

б)

Пусть длины оснований трапеции равны $a$ и $b$. По условию, их отношение равно $3:7$. Это можно записать как $a = 3x$ и $b = 7x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Площадь трапеции $S$ равна 165 см², а высота $h$ равна 11 см. Используем формулу площади трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения и выражения для оснований:
$165 = \frac{3x + 7x}{2} \cdot 11$
$165 = \frac{10x}{2} \cdot 11$
$165 = 5x \cdot 11$
$165 = 55x$

Найдем $x$:
$x = \frac{165}{55} = 3$ см.

Теперь найдем длины оснований:
$a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.
$b = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см.

Требуется найти разность длин оснований:
$b - a = 21 - 9 = 12$ см.

Ответ: 12 см.