Номер 17.8, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.8. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 10 см и 16 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, основания равны $AD = 16$ см и $BC = 10$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

В нашем случае дано $a = BC = 10$ см и $b = AD = 16$ см. Для нахождения площади необходимо найти высоту трапеции $h$.

Рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей. Так как трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, образованные диагоналями и основаниями, являются равнобедренными. По условию диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), следовательно, $\angle AOD = 90^\circ$ и $\angle BOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными равнобедренными треугольниками.

Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота состоит из двух отрезков - высот треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$, проведенных из вершины $O$ к основаниям $BC$ и $AD$. Обозначим эти высоты $h_1$ и $h_2$. Тогда высота всей трапеции $h = h_1 + h_2$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ высота $h_1$, проведенная к гипотенузе $BC$, является также и медианой. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, $h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $h_2$, проведенная к гипотенузе $AD$, также является медианой.

Следовательно, $h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь найдем полную высоту трапеции:

$h = h_1 + h_2 = 5 + 8 = 13$ см.

Подставим все известные значения в формулу площади трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{16+10}{2} \cdot 13 = \frac{26}{2} \cdot 13 = 13 \cdot 13 = 169$ см$^2$.

Ответ: $169$ см$^2$.