Номер 17.6, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.6. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой средняя линия равна большей боковой стороне и равна 10 см, а разность оснований – 6 см.

17.6.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны $a$ и $b$ (где $b$ — большее основание), высота равна $h$, большая боковая сторона — $c$, а средняя линия — $m$.

Из условия задачи известны следующие величины:
Средняя линия: $m = 10$ см.
Большая боковая сторона: $c = 10$ см (так как она равна средней линии).
Разность оснований: $b - a = 6$ см.

Площадь трапеции $S$ можно найти по формуле, использующей среднюю линию и высоту: $S = m \cdot h$.

Поскольку средняя линия $m$ нам дана, для вычисления площади необходимо найти высоту $h$. В прямоугольной трапеции высота совпадает с меньшей боковой стороной, которая перпендикулярна основаниям.

Проведем высоту из вершины, соединяющей меньшее основание и большую боковую сторону, к большему основанию. Эта высота отсекает от трапеции прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности оснований $b - a$. Гипотенузой является большая боковая сторона $c$.

Применим к этому прямоугольному треугольнику теорему Пифагора: $h^2 + (b-a)^2 = c^2$.

Подставим известные значения в это уравнение: $h^2 + 6^2 = 10^2$.

Решим уравнение относительно $h$:
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36$
$h^2 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, зная высоту и среднюю линию, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = m \cdot h = 10 \cdot 8 = 80$ см$^2$.

Ответ: $80$ см$^2$.