Номер 17.11, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.11. Найдите периметр прямоугольной трапеции, площадь которой равна $576 \text{ см}^2$, большее основание — 30 см, а высота — 24 см.

Нахождение меньшего основания

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. По условию задачи нам даны площадь $S = 576 \text{ см}^2$, большее основание $a = 30 \text{ см}$ и высота $h = 24 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти меньшее основание $b$.

$576 = \frac{30+b}{2} \cdot 24$

Упростим уравнение, сократив множитель 24 и знаменатель 2:

$576 = (30+b) \cdot 12$

Теперь найдем сумму оснований, разделив обе части уравнения на 12:

$30+b = \frac{576}{12}$

$30+b = 48$

Отсюда находим меньшее основание $b$:

$b = 48 - 30 = 18 \text{ см}$.

Нахождение боковых сторон

Поскольку трапеция прямоугольная, одна из ее боковых сторон ($c_1$) перпендикулярна основаниям и ее длина равна высоте трапеции.

$c_1 = h = 24 \text{ см}$.

Для нахождения второй, наклонной боковой стороны ($c_2$), рассмотрим прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является сторона $c_2$, а катетами — высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный разности длин оснований $a-b$.

Найдем длину второго катета: $a-b = 30 - 18 = 12 \text{ см}$.

Теперь по теореме Пифагора ($c_2^2 = h^2 + (a-b)^2$) найдем длину $c_2$:

$c_2^2 = 24^2 + 12^2$

$c_2^2 = 576 + 144$

$c_2^2 = 720$

$c_2 = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5} \text{ см}$.

Нахождение периметра

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = a + b + c_1 + c_2$.

Подставим все известные и вычисленные значения:

$P = 30 + 18 + 24 + 12\sqrt{5}$

Сложим числовые слагаемые:

$P = 72 + 12\sqrt{5} \text{ см}$.

Ответ: $72 + 12\sqrt{5}$ см.