Номер 18.3, страница 97 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.3. a) В прямоугольном треугольнике отношение длин катетов равно $2 : 5$, а площадь треугольника равна $20 \text{ см}^2$. Найдите длину гипотенузы данного треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике отношение длин катетов равно $2 : 3$, а площадь треугольника равна $12 \text{ см}^2$. Найдите длину гипотенузы данного треугольника.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение $a:b = 2:5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины катетов можно выразить как $a = 2x$ и $b = 5x$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$

По условию, площадь равна $20$ см². Подставим выражения для катетов и значение площади в формулу: $20 = \frac{1}{2} (2x)(5x)$ $20 = \frac{1}{2} \cdot 10x^2$ $20 = 5x^2$

Решим уравнение относительно $x$: $x^2 = \frac{20}{5}$ $x^2 = 4$ $x = 2$ (так как длина стороны — положительная величина).

Теперь найдем длины катетов: $a = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см. $b = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Для нахождения длины гипотенузы $c$ воспользуемся теоремой Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. $c^2 = 4^2 + 10^2$ $c^2 = 16 + 100$ $c^2 = 116$ $c = \sqrt{116}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители: $c = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$ см.

Ответ: $2\sqrt{29}$ см.

б)

Аналогично пункту а), пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Их отношение $a:b = 2:3$. Введем коэффициент пропорциональности $y$, тогда $a = 2y$ и $b = 3y$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$

По условию, площадь равна $12$ см². Подставим известные данные в формулу: $12 = \frac{1}{2} (2y)(3y)$ $12 = \frac{1}{2} \cdot 6y^2$ $12 = 3y^2$

Решим уравнение относительно $y$: $y^2 = \frac{12}{3}$ $y^2 = 4$ $y = 2$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Найдем длины катетов: $a = 2y = 2 \cdot 2 = 4$ см. $b = 3y = 3 \cdot 2 = 6$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $c$: $c^2 = a^2 + b^2$. $c^2 = 4^2 + 6^2$ $c^2 = 16 + 36$ $c^2 = 52$ $c = \sqrt{52}$

Упростим полученный корень: $c = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.