Номер 18.7, страница 98 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.7. a) В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $\sqrt{65}$ см отношение длин катетов равно 2 : 3. Найдите длину медианы, проведенной к меньшему катету данного треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $\sqrt{34}$ см отношение длин катетов равно 1 : 4. Найдите длину медианы, проведенной к большему катету данного треугольника.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c = \sqrt{65}$ см. По условию, отношение длин катетов равно $2:3$. Обозначим длины катетов как $a = 2x$ и $b = 3x$ для некоторого положительного коэффициента $x$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим наши значения:

$(2x)^2 + (3x)^2 = (\sqrt{65})^2$

$4x^2 + 9x^2 = 65$

$13x^2 = 65$

$x^2 = \frac{65}{13} = 5$

$x = \sqrt{5}$

Теперь найдем длины катетов:

$a = 2x = 2\sqrt{5}$ см

$b = 3x = 3\sqrt{5}$ см

Меньший катет — это $a = 2\sqrt{5}$ см. Нужно найти длину медианы, проведенной к меньшему катету ($m_a$). Эта медиана соединяет вершину прямого угла с серединой катета $b$. Нет, это неверно. Медиана, проведенная к катету, выходит из вершины острого угла. Медиана $m_a$ выходит из вершины, противолежащей катету $a$, и делит этот катет пополам.

Таким образом, медиана $m_a$ является гипотенузой нового прямоугольного треугольника, катетами которого являются катет $b$ и половина катета $a$ (то есть $\frac{a}{2}$).

Найдем длину медианы $m_a$ по теореме Пифагора для этого нового треугольника:

$m_a^2 = b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$m_a^2 = (3\sqrt{5})^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{2}\right)^2$

$m_a^2 = (9 \cdot 5) + (\sqrt{5})^2$

$m_a^2 = 45 + 5 = 50$

$m_a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c = \sqrt{34}$ см. По условию, отношение длин катетов равно $1:4$. Обозначим длины катетов как $a = x$ и $b = 4x$ для некоторого положительного коэффициента $x$.

По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим наши значения:

$x^2 + (4x)^2 = (\sqrt{34})^2$

$x^2 + 16x^2 = 34$

$17x^2 = 34$

$x^2 = \frac{34}{17} = 2$

$x = \sqrt{2}$

Теперь найдем длины катетов:

$a = x = \sqrt{2}$ см

$b = 4x = 4\sqrt{2}$ см

Больший катет — это $b = 4\sqrt{2}$ см. Нужно найти длину медианы, проведенной к большему катету ($m_b$). Эта медиана является гипотенузой нового прямоугольного треугольника, катетами которого являются катет $a$ и половина катета $b$ (то есть $\frac{b}{2}$).

Найдем длину медианы $m_b$ по теореме Пифагора для этого нового треугольника:

$m_b^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$

$m_b^2 = (\sqrt{2})^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$m_b^2 = 2 + (2\sqrt{2})^2$

$m_b^2 = 2 + (4 \cdot 2) = 2 + 8 = 10$

$m_b = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.