Номер 18.13, страница 99 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.13. а) Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны $(x - 1)$ см и $4x$ см, а гипотенуза — $(5x - 9)$ см.

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны $(x + 2)$ см и $(3x + 5)$ см, а гипотенуза — $(3x + 7)$ см.

а) Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, сначала необходимо найти значение переменной $x$, используя теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим длины сторон, выраженные через $x$:

$(x - 1)^2 + (4x)^2 = (5x - 9)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 1 + 16x^2 = 25x^2 - 90x + 81$

Приведем подобные слагаемые:

$17x^2 - 2x + 1 = 25x^2 - 90x + 81$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$25x^2 - 17x^2 - 90x + 2x + 81 - 1 = 0$

$8x^2 - 88x + 80 = 0$

Разделим уравнение на 8 для упрощения:

$x^2 - 11x + 10 = 0$

Найдем корни уравнения, например, по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 10$.

Теперь нужно проверить, подходят ли найденные значения $x$. Длины сторон треугольника должны быть положительными.

• При $x = 1$: катет $(x - 1) = 1 - 1 = 0$. Длина стороны не может быть равна нулю, поэтому это значение не подходит.
• При $x = 10$:
  • первый катет: $x - 1 = 10 - 1 = 9$ см.
  • второй катет: $4x = 4 \cdot 10 = 40$ см.
  • гипотенуза: $5x - 9 = 5 \cdot 10 - 9 = 41$ см.
  Все длины положительны, значит, $x=10$ — верный корень.

Теперь найдем площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — катеты:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 9 \cdot 20 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

б) Аналогично пункту а), применим теорему Пифагора для нахождения $x$.

$(x + 2)^2 + (3x + 5)^2 = (3x + 7)^2$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 4x + 4) + (9x^2 + 30x + 25) = (9x^2 + 42x + 49)$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$10x^2 + 34x + 29 = 9x^2 + 42x + 49$

Перенесем все члены в одну сторону:

$10x^2 - 9x^2 + 34x - 42x + 29 - 49 = 0$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}$

$x_1 = \frac{8 - 12}{2} = -2$

$x_2 = \frac{8 + 12}{2} = 10$

Проверим найденные значения $x$. Длины сторон должны быть положительными.

• При $x = -2$: катет $(x + 2) = -2 + 2 = 0$. Длина стороны не может быть равна нулю, поэтому это значение не подходит.
• При $x = 10$:
  • первый катет: $x + 2 = 10 + 2 = 12$ см.
  • второй катет: $3x + 5 = 3 \cdot 10 + 5 = 35$ см.
  • гипотенуза: $3x + 7 = 3 \cdot 10 + 7 = 37$ см.
  Все длины положительны, значит, $x=10$ — верный корень.

Теперь найдем площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 6 \cdot 35 = 210$ см².

Ответ: 210 см².