Номер 18.15, страница 99 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.15. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника с углом при основании $15^\circ$, площадь которого равна $1$ см$^2$.

Пусть b — длина боковой стороны равнобедренного треугольника. По условию, углы при основании равны $15^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол $\beta$ при вершине, который находится между двумя равными боковыми сторонами:
$\beta = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Площадь треугольника (S) можно вычислить по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними. В данном случае это две боковые стороны b и угол $\beta$ между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\beta)$.

Из условия задачи известно, что площадь $S = 1$ см². Подставим известные значения в формулу:
$1 = \frac{1}{2} b^2 \sin(150^\circ)$.

Для нахождения значения $\sin(150^\circ)$ воспользуемся формулой приведения:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это значение в наше уравнение для площади:
$1 = \frac{1}{2} b^2 \cdot \frac{1}{2}$
$1 = \frac{b^2}{4}$.

Отсюда выражаем $b^2$:
$b^2 = 4$.

Находим длину боковой стороны b, извлекая квадратный корень. Поскольку длина стороны — положительная величина, мы берем только арифметический корень:
$b = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна 2 см.

Ответ: 2 см.