Номер 18.11, страница 98 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.11. a) Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, угол при основании равен $45^\circ$. Найдите площадь треугольника.

б) Основание равнобедренного треугольника равно 14 см, угол при основании равен $45^\circ$. Найдите площадь треугольника.

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого равно $a = 16$ см, а угол при основании равен $\alpha = 45^\circ$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $h$ - высота, проведенная к основанию $a$. Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на две равные части. Таким образом, высота разделяет исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. У каждого из этих прямоугольных треугольников один катет равен половине основания, то есть $\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см, а второй катет — это высота $h$. Прилежащий к первому катету угол равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2}$. Подставив известные значения, получим: $\tan(45^\circ) = \frac{h}{8}$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $1 = \frac{h}{8}$, откуда следует, что высота $h = 8$ см. Теперь мы можем вычислить площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64$ см².
Ответ: 64 см².

б) Эта задача решается аналогично предыдущей. Дано: основание равнобедренного треугольника $a = 14$ см, угол при основании $\alpha = 45^\circ$. Найдем площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} a h$. Проведем высоту $h$ к основанию. Она разделит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Катет каждого из них, лежащий на основании, равен $\frac{a}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см. Высота $h$ является вторым катетом. Угол между основанием и боковой стороной равен $45^\circ$. Найдем высоту из соотношения в прямоугольном треугольнике: $\tan(45^\circ) = \frac{h}{a/2}$. Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, высота $h$ равна половине основания: $h = \frac{a}{2} = 7$ см. Вычислим площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49$ см².
Ответ: 49 см².