Номер 18.8, страница 98 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.8. a) Боковая сторона равнобедренного треугольника имеет длину 4 см, а биссектриса, проведенная к основанию треугольника, равна $\sqrt{7}$ см. Найдите площадь треугольника.

б) Боковая сторона равнобедренного треугольника имеет длину 3 см, а медиана, проведенная к основанию треугольника, равна $\sqrt{5}$ см. Найдите площадь треугольника.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 4$ см. Проведем биссектрису $BD$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Длина этой биссектрисы по условию равна $BD = \sqrt{7}$ см.

Ключевым свойством равнобедренного треугольника является то, что биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. Это означает, что $BD$ перпендикулярна основанию $AC$ (т.е. $BD$ — высота $h$), а также делит основание пополам (т.е. $AD = DC$).

Таким образом, треугольник $ABD$ является прямоугольным, где $AB$ — гипотенуза, а $AD$ и $BD$ — катеты. Применим теорему Пифагора для треугольника $ABD$ ($AB^2 = AD^2 + BD^2$):

$4^2 = AD^2 + (\sqrt{7})^2$
$16 = AD^2 + 7$
$AD^2 = 16 - 7$
$AD^2 = 9$
$AD = \sqrt{9} = 3$ см.

Поскольку $D$ — середина основания $AC$, то длина всего основания равна $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$ см².

Ответ: $3\sqrt{7}$ см².

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см. Проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Длина медианы по условию равна $BM = \sqrt{5}$ см.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Следовательно, $BM$ является высотой треугольника ($h = BM = \sqrt{5}$ см) и перпендикулярна основанию $AC$.

Медиана $BM$ делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $ABM$ и $CBM$. Рассмотрим треугольник $ABM$, в котором $AB$ — гипотенуза, а $AM$ и $BM$ — катеты. По теореме Пифагора ($AB^2 = AM^2 + BM^2$):

$3^2 = AM^2 + (\sqrt{5})^2$
$9 = AM^2 + 5$
$AM^2 = 9 - 5$
$AM^2 = 4$
$AM = \sqrt{4} = 2$ см.

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой основания $AC$. Значит, длина всего основания равна $AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ см².

Ответ: $2\sqrt{5}$ см².