Номер 18.14, страница 99 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.14. a) На рисунке 152 изображен выпуклый четырехугольник $MNEF$, у которого стороны $MN = NE = EF = 13$ см. Диагональ $NF$ длиной 10 см перпендикулярна стороне $MN$. Найдите площадь четырехугольника $MNEF$.

Рис. 152

б) На рисунке 153 изображен выпуклый четырехугольник $KLMN$, у которого стороны $KL = LM = MN = 17$ см. Диагональ $LN$ длиной 16 см перпендикулярна стороне $KL$. Найдите площадь четырехугольника $KLMN$.

Рис. 153

а)

Площадь выпуклого четырехугольника $MNEF$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $NF$: $\triangle MNF$ и $\triangle NEF$.

$S_{MNEF} = S_{MNF} + S_{NEF}$

1. Найдем площадь треугольника $MNF$.

По условию, диагональ $NF$ перпендикулярна стороне $MN$, следовательно, $\triangle MNF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$. Его катеты равны $MN = 13$ см и $NF = 10$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{MNF} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NF = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 10 = 65$ см².

2. Найдем площадь треугольника $NEF$.

В $\triangle NEF$ известны длины всех сторон: $NE = 13$ см, $EF = 13$ см, $NF = 10$ см. Так как $NE = EF$, треугольник является равнобедренным. Проведем в нем высоту $EH$ к основанию $NF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание $NF$ пополам:

$NH = HF = \frac{NF}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $EHF$. По теореме Пифагора:

$EH^2 + HF^2 = EF^2$

$EH^2 + 5^2 = 13^2$

$EH^2 + 25 = 169$

$EH^2 = 169 - 25 = 144$

$EH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем площадь $\triangle NEF$ как половину произведения основания на высоту:

$S_{NEF} = \frac{1}{2} \cdot NF \cdot EH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

3. Найдем площадь четырехугольника $MNEF$.

$S_{MNEF} = S_{MNF} + S_{NEF} = 65 + 60 = 125$ см².

Ответ: 125 см².

б)

Площадь выпуклого четырехугольника $KLMN$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $LN$: $\triangle KLN$ и $\triangle LMN$.

$S_{KLMN} = S_{KLN} + S_{LMN}$

1. Найдем площадь треугольника $KLN$.

По условию, диагональ $LN$ перпендикулярна стороне $KL$, следовательно, $\triangle KLN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $L$. Его катеты равны $KL = 17$ см и $LN = 16$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{KLN} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot LN = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 16 = 17 \cdot 8 = 136$ см².

2. Найдем площадь треугольника $LMN$.

В $\triangle LMN$ известны длины всех сторон: $LM = 17$ см, $MN = 17$ см, $LN = 16$ см. Так как $LM = MN$, треугольник является равнобедренным. Проведем в нем высоту $MH$ к основанию $LN$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание $LN$ пополам:

$LH = HN = \frac{LN}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MHN$. По теореме Пифагора:

$MH^2 + HN^2 = MN^2$

$MH^2 + 8^2 = 17^2$

$MH^2 + 64 = 289$

$MH^2 = 289 - 64 = 225$

$MH = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем площадь $\triangle LMN$ как половину произведения основания на высоту:

$S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot LN \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см².

3. Найдем площадь четырехугольника $KLMN$.

$S_{KLMN} = S_{KLN} + S_{LMN} = 136 + 120 = 256$ см².

Ответ: 256 см².