Номер 19.6, страница 101 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.6. Пользуясь данными рисунков 160 а), б) и учитывая, что $a \parallel b \parallel c$, найдите значение суммы $x + y$.

a) На рисунке а) изображены три параллельные прямые $a, b, c$, пересекающие две другие прямые. На одной из пересекающих прямых отрезки между параллельными прямыми имеют длины 3 и 5. На другой пересекающей прямой, начинающейся от точки A, отрезки имеют длины 12, $x$ и $y$ соответственно.

б) На рисунке б) изображены три параллельные прямые $a, b, c$, пересекающие две другие прямые. На одной из пересекающих прямых отрезки между параллельными прямыми имеют длины 8 и 5. На другой пересекающей прямой, начинающейся от точки A, отрезки имеют длины $y$, 2 и $x$ соответственно.

Рис. 160

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках). Если две прямые пересечены несколькими параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной прямой, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой прямой. В данном случае две прямые (стороны угла) выходят из общей вершины A и пересекаются тремя параллельными прямыми $a, b, c$.

На рисунке а) даны две пересекающиеся в точке A прямые, которые пересекают три параллельные прямые a, b и c. На верхней прямой отрезки, начиная от вершины, равны $x, 3, 5$. На нижней прямой соответствующие отрезки равны $12, x, y$.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках, для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми $a$ и $b$, справедливо соотношение:

$\frac{x}{3} = \frac{12}{x}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции:

$x \cdot x = 3 \cdot 12$

$x^2 = 36$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, его значение положительно, поэтому $x = 6$.

Теперь применим ту же теорему для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми $b$ и $c$. Отношение отрезков на верхней прямой равно отношению соответствующих отрезков на нижней прямой:

$\frac{3}{5} = \frac{x}{y}$

Подставим найденное значение $x = 6$ в эту пропорцию:

$\frac{3}{5} = \frac{6}{y}$

Снова решим уравнение относительно $y$:

$3y = 5 \cdot 6$

$3y = 30$

$y = 10$

Теперь мы можем найти значение суммы $x + y$:

$x + y = 6 + 10 = 16$

Ответ: $16$.

Аналогично применим теорему о пропорциональных отрезках для данных на рисунке б). На верхней прямой отрезки от вершины A равны $8, y, 5$. На нижней прямой соответствующие отрезки равны $y, 2, x$.

Для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми $a$ и $b$, получаем соотношение:

$\frac{8}{y} = \frac{y}{2}$

Решим уравнение относительно $y$:

$y \cdot y = 8 \cdot 2$

$y^2 = 16$

Так как $y$ — это длина, $y = 4$.

Далее, для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми $b$ и $c$, составим пропорцию:

$\frac{y}{5} = \frac{2}{x}$

Подставим значение $y = 4$:

$\frac{4}{5} = \frac{2}{x}$

Решим уравнение относительно $x$:

$4x = 5 \cdot 2$

$4x = 10$

$x = \frac{10}{4} = 2.5$

Найдем значение суммы $x + y$:

$x + y = 2.5 + 4 = 6.5$

Ответ: $6.5$.