Номер 19.7, страница 101 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.7. а) В треугольнике ABC на стороне AB взята точка X так, что расстояние от точки A до точки X на 3 см больше, чем от точки X до точки B. Через точку X проведена прямая, параллельная стороне AC треугольника и пересекающая сторону BC в точке Y, $BY = 15$ см. Найдите периметр треугольника ABC, если $AB = 21$ см, $AC = 20$ см.

б) В треугольнике ABC на стороне AC взята точка K так, что расстояние от точки A до точки K на 4 см меньше, чем от точки K до точки C. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне AB треугольника и пересекающая сторону BC в точке L, $CL = 15$ см. Найдите периметр треугольника ABC, если $AB = 21$ см, $AC = 20$ см.

а)

По условию задачи дано, что точка $X$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$. Расстояние от точки $A$ до точки $X$ на 3 см больше, чем от точки $X$ до точки $B$. Это можно записать как $AX = XB + 3$. Также известно, что длина всей стороны $AB = 21$ см, то есть $AX + XB = 21$.

Для нахождения длин отрезков $AX$ и $XB$ решим систему уравнений:

$AX = XB + 3$
$AX + XB = 21$

Подставим выражение для $AX$ из первого уравнения во второе:

$(XB + 3) + XB = 21$

$2 \cdot XB + 3 = 21$

$2 \cdot XB = 18$

$XB = 9$ см.

Зная $XB$, найдем $AX$:

$AX = 9 + 3 = 12$ см.

Через точку $X$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $Y$. Таким образом, $XY \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $XBY$ и $ABC$. Так как прямая $XY$ параллельна $AC$, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник $XBY$ подобен треугольнику $ABC$ ($ΔXBY \sim ΔABC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы $BXY$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $XY$, $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует отношение пропорциональности их сторон:

$\frac{BX}{BA} = \frac{BY}{BC} = \frac{XY}{AC}$

Используем известнвые нам значения: $BX=9$ см, $BA=AB=21$ см, $BY=15$ см, чтобы найти длину стороны $BC$.

$\frac{9}{21} = \frac{15}{BC}$

Отсюда находим $BC$:

$BC = \frac{21 \cdot 15}{9} = \frac{7 \cdot 15}{3} = 7 \cdot 5 = 35$ см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника $ABC$, который равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Подставим известные значения: $AB = 21$ см, $AC = 20$ см и найденное значение $BC = 35$ см.

$P_{ABC} = 21 + 35 + 20 = 76$ см.

Ответ: 76 см.

б)

По условию задачи, на стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $K$. Расстояние от точки $A$ до точки $K$ на 4 см меньше, чем от точки $K$ до точки $C$. Это можно записать как $AK = KC - 4$. Также известно, что длина всей стороны $AC = 20$ см, то есть $AK + KC = 20$.

Для нахождения длин отрезков $AK$ и $KC$ решим систему уравнений:

$AK = KC - 4$
$AK + KC = 20$

Подставим выражение для $AK$ из первого уравнения во второе:

$(KC - 4) + KC = 20$

$2 \cdot KC - 4 = 20$

$2 \cdot KC = 24$

$KC = 12$ см.

Зная $KC$, найдем $AK$:

$AK = 12 - 4 = 8$ см.

Через точку $K$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Таким образом, $KL \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $KLC$ и $ABC$. Так как прямая $KL$ параллельна $AB$, то треугольник $KLC$ подобен треугольнику $ABC$ ($ΔKLC \sim ΔABC$). Это следует из того, что угол $C$ у них общий, а углы $CKL$ и $CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $KL$, $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников следует отношение пропорциональности их сторон:

$\frac{KC}{AC} = \frac{CL}{BC} = \frac{KL}{AB}$

Используем известнвые нам значения: $KC=12$ см, $AC=20$ см, $CL=15$ см, чтобы найти длину стороны $BC$.

$\frac{12}{20} = \frac{15}{BC}$

Отсюда находим $BC$:

$BC = \frac{20 \cdot 15}{12} = \frac{5 \cdot 15}{3} = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Подставим известные значения: $AB = 21$ см, $AC = 20$ см и найденное значение $BC = 25$ см.

$P_{ABC} = 21 + 25 + 20 = 66$ см.

Ответ: 66 см.