Номер 19.1, страница 100 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.1. а) На рисунке 154 $CD \parallel BE$, $AC = 6$ см, $AD = 5$ см, $CB = 30$ см.

Найдите длину отрезка $AE$.

Рис. 154

б) На рисунке 155 $CD \parallel BE$, $AC = 6$ см, $AD = 7$ см, $DE = 21$ см.

Найдите длину отрезка $AB$.

Рис. 155

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$. По условию задачи прямые $CD$ и $BE$ параллельны ($CD \parallel BE$).

Так как $CD \parallel BE$, то треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам):

1. $\angle A$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle ACD = \angle ABE$ как соответственные углы при параллельных прямых $CD$ и $BE$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AE}$

Из условия нам известны длины: $AC = 6$ см, $AD = 5$ см, $CB = 30$ см.

Длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$:

$AB = AC + CB = 6 + 30 = 36$ см.

Подставим известные значения в нашу пропорцию:

$\frac{6}{36} = \frac{5}{AE}$

Упростим левую часть:

$\frac{1}{6} = \frac{5}{AE}$

Теперь найдем $AE$:

$AE = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Ответ: $30$ см.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$. Как и в предыдущем пункте, они подобны, так как $CD \parallel BE$. Угол $\angle A$ у них общий, а углы $\angle ADC$ и $\angle AEB$ равны как соответственные при параллельных прямых $CD$ и $BE$ и секущей $AE$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AE}$

Из условия нам известны длины: $AC = 6$ см, $AD = 7$ см, $DE = 21$ см.

Длина стороны $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$:

$AE = AD + DE = 7 + 21 = 28$ см.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{6}{AB} = \frac{7}{28}$

Упростим правую часть:

$\frac{6}{AB} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем $AB$:

$AB = 6 \cdot 4 = 24$ см.

Ответ: $24$ см.