Номер 19.5, страница 101 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.5. По данным рисунков 159, а), б) найдите значение x.

а) 10

4

$118^\circ$

$62^\circ$

$2x - 1$

$4x + 3$

б) $3x - 2$

$4x + 1$

6

$78^\circ$

$102^\circ$

9

Рис. 159

а)

На рисунке а) изображены две прямые, пересеченные третьей прямой. Углы, равные $118^\circ$ и $62^\circ$, являются внутренними односторонними. Проверим, параллельны ли прямые, для этого найдем сумму этих углов:

$118^\circ + 62^\circ = 180^\circ$

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то две прямые (которые пересекает секущая с данными углами) параллельны.

Две другие пересекающиеся прямые образуют два треугольника с вершиной в точке их пересечения. Эти треугольники подобны по двум углам: одна пара углов является вертикальными, а другая пара — накрест лежащими при параллельных прямых и одной из секущих.

В подобных треугольниках отношения соответственных сторон равны. Стороны, лежащие на одной секущей, пропорциональны сторонам, лежащим на другой секущей. Составим пропорцию:

$\frac{4}{2x - 1} = \frac{10}{4x + 3}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:

$4 \cdot (4x + 3) = 10 \cdot (2x - 1)$

$16x + 12 = 20x - 10$

$20x - 16x = 12 + 10$

$4x = 22$

$x = \frac{22}{4}$

$x = 5.5$

Ответ: 5.5

б)

Аналогично пункту а), проверим параллельность двух прямых, используя данные внутренние односторонние углы $78^\circ$ и $102^\circ$:

$78^\circ + 102^\circ = 180^\circ$

Сумма углов равна $180^\circ$, следовательно, прямые параллельны.

Две пересекающиеся секущие образуют два подобных треугольника. Составим пропорцию для их соответственных сторон:

$\frac{3x - 2}{6} = \frac{4x + 1}{9}$

Решим полученное уравнение:

$9 \cdot (3x - 2) = 6 \cdot (4x + 1)$

Для удобства вычислений разделим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (3x - 2) = 2 \cdot (4x + 1)$

$9x - 6 = 8x + 2$

$9x - 8x = 2 + 6$

$x = 8$

Ответ: 8