Номер 17.5, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.5. а) Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 15 см и 8 см, а большая боковая сторона — 25 см.

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции, средняя линия которой равна 13 см, а меньшая боковая сторона — 5 см.

а)

Пусть дана прямоугольная трапеция. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, где $a = 15$ см и $b = 8$ см. Большая боковая сторона равна $c = 25$ см. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции ($h$). Другая боковая сторона является наклонной и она больше высоты.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Эта высота отсечет от трапеции прямоугольный треугольник, у которого:

• гипотенуза — это большая боковая сторона трапеции ($c = 25$ см);
• один катет — это высота трапеции ($h$);
• второй катет — это разность длин оснований ($a-b$).

Найдем длину второго катета: $15 - 8 = 7$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + (a-b)^2 = c^2$

$h^2 + 7^2 = 25^2$

$h^2 + 49 = 625$

$h^2 = 625 - 49$

$h^2 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь, зная высоту и основания, можем найти площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{15+8}{2} \cdot 24 = \frac{23}{2} \cdot 24 = 23 \cdot 12 = 276$ см².

Ответ: 276 см².

б)

Площадь трапеции ($S$) можно найти по формуле через среднюю линию ($m$) и высоту ($h$):

$S = m \cdot h$

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям, а значит, она и является высотой трапеции. По условию, меньшая боковая сторона равна 5 см, следовательно, высота $h = 5$ см.

Средняя линия трапеции по условию равна $m = 13$ см.

Подставим известные значения в формулу площади:

$S = 13 \cdot 5 = 65$ см².

Ответ: 65 см².