Номер 17.7, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.7. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 10 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся свойством площади любого выпуклого четырехугольника. Площадь выпуклого четырехугольника можно найти как половину произведения его диагоналей на синус угла между ними. Формула имеет вид:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи, диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними $\alpha = 90^\circ$. Синус прямого угла равен единице: $\sin(90^\circ) = 1$.

Длины диагоналей равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 16$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 160 \cdot 1 = 80$ см$^2$.

Чтобы доказать справедливость этого метода именно для трапеции, можно использовать следующий геометрический подход.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть она пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. В результате мы получаем четырехугольник $BCED$. Поскольку $BC \parallel DE$ (как части параллельных оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению), $BCED$ является параллелограммом. Отсюда следует, что $CE = BD = 16$ см.

Площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Покажем это:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Площадь треугольника $ACE$ равна:

$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} AE \cdot h$

Основание треугольника $AE = AD + DE$. Так как $BCED$ — параллелограмм, то $DE = BC$. Следовательно, $AE = AD + BC$.

Подставив это в формулу площади треугольника, получаем:

$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot h = S_{ABCD}$

Таким образом, задача сводится к нахождению площади треугольника $ACE$.

Стороны этого треугольника — $AC = 10$ см и $CE = 16$ см. Угол между этими сторонами $\angle ACE$ равен углу между прямыми $AC$ и $CE$. Так как $CE \parallel BD$, то угол между $AC$ и $CE$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$, который по условию составляет $90^\circ$.

Следовательно, треугольник $ACE$ — прямоугольный, а его площадь равна половине произведения его катетов $AC$ и $CE$:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 = 80$ см$^2$.

Поскольку $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$, площадь трапеции также равна 80 см$^2$.

Ответ: 80 см$^2$.