Номер 21.7, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.7. Вершины квадрата лежат на сторонах ромба, а стороны квадрата параллельны диагоналям ромба. Найдите периметр квадрата, если диагонали ромба равны:

а) 8 см и 10 см;

б) 10 см и 12 см.

Для решения задачи сначала выведем общую формулу для нахождения стороны квадрата, вписанного в ромб указанным образом.

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Пусть сторона вписанного квадрата равна $x$. Поскольку стороны квадрата параллельны диагоналям ромба, а вершины квадрата лежат на сторонах ромба, центр симметрии квадрата совпадает с центром симметрии ромба (точкой пересечения диагоналей $O$).

Рассмотрим четверть ромба — прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей. Назовем его $\triangle AOB$, где $O$ — центр ромба, а $A$ и $B$ — концы полудиагоналей на осях. Катеты этого треугольника равны $OA = d_1/2$ и $OB = d_2/2$.

В этот треугольник вписана четверть квадрата. Вершина квадрата $K$ лежит на гипотенузе (стороне ромба). Две другие стороны этой четверти квадрата лежат на катетах $OA$ и $OB$. Длина этих сторон равна половине стороны квадрата, то есть $x/2$.

Пусть $G$ и $H$ — проекции точки $K$ на катеты $OA$ и $OB$ соответственно. Тогда $OKGH$ — квадрат со стороной $x/2$. Таким образом, $OG = OH = GK = HK = x/2$.

Треугольник $\triangle GKA$ подобен треугольнику $\triangle OBA$, так как сторона $GK$ квадрата параллельна катету $OB$ ромба, и следовательно, $\angle AGK = \angle AOB = 90^\circ$, а угол при вершине $A$ у них общий.

Из подобия треугольников следует соотношение их сторон: $\frac{AG}{AO} = \frac{GK}{OB}$

Длина отрезка $AG$ равна $AO - GO = d_1/2 - x/2$. Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{d_1/2 - x/2}{d_1/2} = \frac{x/2}{d_2/2}$

Упростим полученное выражение, умножив числители и знаменатели в каждой дроби на 2: $\frac{d_1 - x}{d_1} = \frac{x}{d_2}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции: $d_2(d_1 - x) = d_1x$ $d_1d_2 - d_2x = d_1x$ $d_1d_2 = d_1x + d_2x$ $d_1d_2 = x(d_1 + d_2)$

Отсюда находим формулу для стороны квадрата $x$: $x = \frac{d_1d_2}{d_1+d_2}$

Периметр квадрата $P$ равен $4x$. Соответственно, формула для периметра: $P = \frac{4d_1d_2}{d_1+d_2}$

Теперь применим эту общую формулу для решения конкретных задач.

а)

Даны диагонали ромба $d_1 = 8$ см и $d_2 = 10$ см. Найдем сторону квадрата $x$ по выведенной формуле: $x = \frac{8 \cdot 10}{8 + 10} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}$ см.

Периметр квадрата $P$ равен: $P = 4x = 4 \cdot \frac{40}{9} = \frac{160}{9}$ см, или $17 \frac{7}{9}$ см.

Ответ: $\frac{160}{9}$ см.

б)

Даны диагонали ромба $d_1 = 10$ см и $d_2 = 12$ см. Найдем сторону квадрата $x$: $x = \frac{10 \cdot 12}{10 + 12} = \frac{120}{22} = \frac{60}{11}$ см.

Периметр квадрата $P$ равен: $P = 4x = 4 \cdot \frac{60}{11} = \frac{240}{11}$ см, или $21 \frac{9}{11}$ см.

Ответ: $\frac{240}{11}$ см.