Номер 21.11, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.11. а) В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O, $P_{\Delta AOD} = 5P_{\Delta BOC}$. Средняя линия трапеции равна 15 см. Найдите расстояние между серединами диагоналей трапеции.

б) В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O, $P_{\Delta AOD} = 4P_{\Delta BOC}$. Средняя линия трапеции равна 15 см. Найдите расстояние между серединами диагоналей трапеции.

а)

Пусть в трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны по двум углам, так как $\angle AOD = \angle BOC$ (вертикальные углы) и $\angle OAD = \angle OCB$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. По условию, $P_{\triangle AOD} = 5P_{\triangle BOC}$.
Следовательно, коэффициент подобия $k$ равен:
$k = \frac{P_{\triangle AOD}}{P_{\triangle BOC}} = 5$

Коэффициент подобия также равен отношению длин соответственных сторон. В нашем случае, это отношение оснований трапеции:
$k = \frac{AD}{BC} = 5$, откуда $AD = 5BC$.

Пусть длина основания $AD = a$ и $BC = b$. Тогда мы имеем соотношение $a = 5b$.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. По условию, она равна 15 см:
$\frac{a+b}{2} = 15$
$a+b = 30$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} a = 5b \\ a+b = 30 \end{cases}$
Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:
$5b + b = 30$
$6b = 30$
$b = 5$ см.
Теперь найдем $a$:
$a = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Расстояние между серединами диагоналей трапеции вычисляется по формуле, равной полуразности оснований:
$d = \frac{a-b}{2}$
Подставим найденные значения $a$ и $b$:
$d = \frac{25-5}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

б)

Решение этого пункта аналогично предыдущему. Пусть $AD = a$ и $BC = b$ — основания трапеции.

Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны. Из условия $P_{\triangle AOD} = 4P_{\triangle BOC}$ следует, что коэффициент подобия $k$ равен 4.
$k = \frac{P_{\triangle AOD}}{P_{\triangle BOC}} = 4$

Отношение оснований равно коэффициенту подобия:
$\frac{a}{b} = 4$, то есть $a = 4b$.

Средняя линия трапеции равна 15 см, следовательно:
$\frac{a+b}{2} = 15$
$a+b = 30$

Снова решаем систему уравнений:
$\begin{cases} a = 4b \\ a+b = 30 \end{cases}$
Подставляем $a = 4b$ во второе уравнение:
$4b + b = 30$
$5b = 30$
$b = 6$ см.
Находим $a$:
$a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Теперь вычислим расстояние между серединами диагоналей:
$d = \frac{a-b}{2}$
$d = \frac{24-6}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.