Номер 22.4, страница 108 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.4. а) Диагональ ромба делит его высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длинами 26 см и 10 см. Найдите площадь части ромба, заключенной между двумя высотами ромба, опущенными из вершины одного и того же тупого угла.

б) Диагональ ромба делит его высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длинами 34 см и 16 см. Найдите площадь части ромба, заключенной между двумя высотами ромба, опущенными из вершины одного и того же тупого угла.

а)

Пусть дан ромб $ABCD$, в котором углы $B$ и $D$ – тупые, а углы $A$ и $C$ – острые. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$. По условию задачи, высота $BH$ делится диагональю на отрезки длиной 26 см и 10 см. Следовательно, полная длина высоты $h = BH = 26 + 10 = 36$ см.

Диагональ, которая может пересекать высоту $BH$ во внутренней точке, – это диагональ $AC$, так как она соединяет вершины острых углов. Обозначим точку пересечения $AC$ и $BH$ как $M$.

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Таким образом, диагональ $AC$ – биссектриса угла $\angle BAD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $AM$ (часть диагонали $AC$) является биссектрисой угла $\angle BAH$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: $$ \frac{BM}{MH} = \frac{AB}{AH} $$ Пусть сторона ромба $AB = a$. Поскольку $AB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABH$, а $AH$ – катетом, то $AB > AH$. Следовательно, отношение $\frac{AB}{AH}$ должно быть больше 1. Это означает, что $BM > MH$. Поэтому $BM = 26$ см и $MH = 10$ см.

Подставляем значения в пропорцию: $$ \frac{26}{10} = \frac{a}{AH} \implies \frac{13}{5} = \frac{a}{AH} \implies AH = \frac{5a}{13} $$

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. $$ a^2 = \left(\frac{5a}{13}\right)^2 + 36^2 $$ $$ a^2 = \frac{25a^2}{169} + 1296 $$ $$ a^2 - \frac{25a^2}{169} = 1296 $$ $$ \frac{169a^2 - 25a^2}{169} = 1296 $$ $$ \frac{144a^2}{169} = 1296 $$ $$ a^2 = \frac{1296 \cdot 169}{144} = 9 \cdot 169 $$ $$ a = \sqrt{9 \cdot 169} = 3 \cdot 13 = 39 \text{ см} $$

Теперь найдем длину отрезка $AH$: $$ AH = \frac{5a}{13} = \frac{5 \cdot 39}{13} = 5 \cdot 3 = 15 \text{ см} $$ Поскольку $AH = 15$ см, а $AD=a=39$ см, точка $H$ лежит на стороне $AD$.

Нам нужно найти площадь части ромба, заключенной между двумя высотами, опущенными из вершины $B$. Пусть вторая высота – это $BK$, опущенная на сторону $CD$. Искомая фигура – это четырехугольник $BHDK$.

В силу симметрии ромба относительно диагонали $BD$, высоты, опущенные из вершины $B$ на смежные стороны, равны ($BH=BK=h$), и отрезки от вершины $D$ до оснований этих высот также равны ($DH=DK$). $$ DH = AD - AH = a - AH = 39 - 15 = 24 \text{ см} $$ Таким образом, четырехугольник $BHDK$ является дельтоидом, и его площадь равна сумме площадей двух конгруэнтных треугольников $BHD$ и $BKD$.

Рассмотрим треугольник $BHD$. Так как $BH$ – высота к прямой $AD$, то $\angle BHA = 90^\circ$. Точки $A, H, D$ лежат на одной прямой, следовательно, отрезок $BH$ перпендикулярен отрезку $HD$. Это означает, что треугольник $BHD$ является прямоугольным с катетами $BH$ и $HD$.

Найдем площадь треугольника $BHD$: $$ S_{\triangle BHD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 24 = 18 \cdot 24 = 432 \text{ см}^2 $$

Площадь искомой фигуры $BHDK$ равна удвоенной площади треугольника $BHD$: $$ S_{BHDK} = 2 \cdot S_{\triangle BHD} = 2 \cdot 432 = 864 \text{ см}^2 $$ Ответ: $864 \text{ см}^2$.

б)

Задача решается аналогично предыдущему пункту. Пусть ромб $ABCD$ с тупыми углами при вершинах $B$ и $D$. Высота $BH$, проведенная из $B$ к $AD$, делится диагональю $AC$ на отрезки 34 см и 16 см. Полная длина высоты $h = BH = 34 + 16 = 50$ см.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ отрезок $AM$ (где $M$ – точка пересечения $AC$ и $BH$) является биссектрисой. По свойству биссектрисы: $$ \frac{BM}{MH} = \frac{AB}{AH} $$ Поскольку $AB > AH$ (гипотенуза больше катета), то $BM > MH$. Следовательно, $BM = 34$ см, а $MH = 16$ см.

Пусть сторона ромба $AB = a$. $$ \frac{34}{16} = \frac{a}{AH} \implies \frac{17}{8} = \frac{a}{AH} \implies AH = \frac{8a}{17} $$

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$: $$ a^2 = AH^2 + BH^2 $$ $$ a^2 = \left(\frac{8a}{17}\right)^2 + 50^2 $$ $$ a^2 = \frac{64a^2}{289} + 2500 $$ $$ a^2 - \frac{64a^2}{289} = 2500 $$ $$ \frac{225a^2}{289} = 2500 $$ $$ a^2 = \frac{2500 \cdot 289}{225} = \frac{100 \cdot 25 \cdot 289}{9 \cdot 25} = \frac{100 \cdot 289}{9} $$ $$ a = \sqrt{\frac{100 \cdot 289}{9}} = \frac{10 \cdot 17}{3} = \frac{170}{3} \text{ см} $$

Найдем длину отрезка $AH$: $$ AH = \frac{8a}{17} = \frac{8}{17} \cdot \frac{170}{3} = \frac{8 \cdot 10}{3} = \frac{80}{3} \text{ см} $$

Искомая площадь – это площадь четырехугольника $BHDK$, где $BK$ – высота из $B$ на $CD$. Эта фигура, как и в пункте а), является дельтоидом, и ее площадь равна $2 \cdot S_{\triangle BHD}$.

Треугольник $BHD$ – прямоугольный с катетами $BH$ и $HD$. Найдем длину катета $HD$: $$ HD = AD - AH = a - AH = \frac{170}{3} - \frac{80}{3} = \frac{90}{3} = 30 \text{ см} $$

Площадь треугольника $BHD$: $$ S_{\triangle BHD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 30 = 25 \cdot 30 = 750 \text{ см}^2 $$

Площадь четырехугольника $BHDK$: $$ S_{BHDK} = 2 \cdot S_{\triangle BHD} = 2 \cdot 750 = 1500 \text{ см}^2 $$ Ответ: $1500 \text{ см}^2$.