Номер 23.5, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.5. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Стороны треугольника $ABC$ равны 5 см, 12 см и 13 см. У треугольника $A_1B_1C_1$ известны две стороны: $\frac{6}{13}$ см, $\frac{1}{2}$ см. Найдите площадь треугольника $A_1B_1C_1$.

1. Сначала определим тип треугольника $ABC$ со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Для этого проверим, выполняется ли для них теорема, обратная теореме Пифагора.

Сумма квадратов двух меньших сторон: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Квадрат большей стороны: $13^2 = 169$.

Поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Его катеты равны 5 см и 12 см, а гипотенуза — 13 см.

2. Найдем площадь треугольника $ABC$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

3. Определим коэффициент подобия $k$. По условию, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, их соответственные стороны пропорциональны:$\frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k$. Стороны треугольника $A_1B_1C_1$ будут равны $5k$, $12k$ и $13k$. Нам известно, что две из этих сторон равны $\frac{6}{13}$ см и $\frac{1}{2}$ см.

Чтобы найти $k$, нужно правильно сопоставить стороны. Проверим возможное соответствие: пусть сторона $12k$ равна $\frac{6}{13}$.$12k = \frac{6}{13} \implies k = \frac{6}{13 \cdot 12} = \frac{1}{26}$.

Теперь проверим, получается ли вторая известная сторона при таком $k$. Проверим сторону, соответствующую гипотенузе $13$:$13k = 13 \cdot \frac{1}{26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$ см. Это совпадает со второй известной стороной. Значит, коэффициент подобия найден верно: $k = \frac{1}{26}$.

4. Найдем площадь треугольника $A_1B_1C_1$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2$.

Выразим и вычислим площадь $S_{A_1B_1C_1}$:$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot k^2 = 30 \cdot (\frac{1}{26})^2 = 30 \cdot \frac{1}{676} = \frac{30}{676}$.

Сократим полученную дробь:$S_{A_1B_1C_1} = \frac{30 \div 2}{676 \div 2} = \frac{15}{338}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{15}{338}$ см$^2$.