Номер 23.3, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.3. a) Периметры двух подобных треугольников относятся как 3 : 2. Площадь меньшего треугольника равна $36 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего треугольника.

б) Периметры двух подобных треугольников относятся как 5 : 3. Площадь большего треугольника равна $225 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего треугольника.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников: отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, а отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Пусть $P_1$ и $S_1$ — периметр и площадь большего треугольника, а $P_2$ и $S_2$ — периметр и площадь меньшего треугольника. Коэффициент подобия $k$ равен отношению периметров:

$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{3}{2}$

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

По условию, площадь меньшего треугольника $S_2 = 36 \text{ см}^2$. Найдем площадь большего треугольника $S_1$:

$S_1 = S_2 \cdot \frac{9}{4} = 36 \cdot \frac{9}{4} = 9 \cdot 9 = 81 \text{ см}^2$

Ответ: $81 \text{ см}^2$.

б)

Действуем аналогично пункту а).

Пусть $P_1$ и $S_1$ — периметр и площадь большего треугольника, а $P_2$ и $S_2$ — периметр и площадь меньшего треугольника. Коэффициент подобия $k$ равен отношению периметров:

$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{3}$

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$

По условию, площадь большего треугольника $S_1 = 225 \text{ см}^2$. Найдем площадь меньшего треугольника $S_2$:

$\frac{225}{S_2} = \frac{25}{9}$

$S_2 = \frac{225 \cdot 9}{25} = 9 \cdot 9 = 81 \text{ см}^2$

Ответ: $81 \text{ см}^2$.