Номер 24.2, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.2. Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$, а треугольник $A_2B_2C_2$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ с коэффициентом подобия 4. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $A_2B_2C_2$ равна 288.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством отношения площадей подобных фигур. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Обозначим площади треугольников как $S_{ABC}$, $S_{A_1B_1C_1}$ и $S_{A_2B_2C_2}$.

Из условия известно, что $\triangle A_2B_2C_2$ подобен $\triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом подобия $k_1 = 4$. Значит, отношение их площадей равно $k_1^2$: $$ \frac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{A_1B_1C_1}} = k_1^2 = 4^2 = 16 $$ Поскольку $S_{A_2B_2C_2} = 288$, мы можем найти площадь $S_{A_1B_1C_1}$: $$ S_{A_1B_1C_1} = \frac{S_{A_2B_2C_2}}{16} = \frac{288}{16} = 18 $$

Далее, из условия известно, что $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k_2 = \frac{1}{3}$. Отношение их площадей равно $k_2^2$: $$ \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k_2^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$ Мы уже вычислили, что $S_{A_1B_1C_1} = 18$. Подставив это значение, найдем искомую площадь $S_{ABC}$: $$ S_{ABC} = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{\frac{1}{9}} = 9 \times S_{A_1B_1C_1} = 9 \times 18 = 162 $$

Ответ: 162.