Номер 25.4, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.4. a) Окружность радиусом 10 см касается сторон угла А. Найдите расстояние от центра окружности до вершины А, если $\angle A = 120^\circ$.

б) Окружность радиусом 12 см касается сторон угла В. Найдите расстояние от вершины В до точки касания, если $\angle B = 60^\circ$.

а)

Пусть O — центр окружности, а C — одна из точек касания окружности со стороной угла A. Тогда OC — радиус, проведенный в точку касания, и, следовательно, он перпендикулярен стороне угла. Таким образом, треугольник AOC является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($\angle OCA = 90^\circ$). Расстояние от центра окружности до вершины A — это длина гипотенузы AO.

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, отрезок AO является биссектрисой угла A. Угол OAC равен половине угла A:

$\angle OAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

В прямоугольном треугольнике AOC катет OC равен радиусу окружности ($r = 10$ см), и этот катет лежит против угла OAC.

Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, имеем:

$\sin(\angle OAC) = \frac{OC}{AO}$

Выразим и найдем длину AO:

$AO = \frac{OC}{\sin(\angle OAC)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)}$

Значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$AO = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

б)

Пусть O — центр окружности, а E — точка касания окружности с одной из сторон угла B. Расстояние от вершины B до точки касания — это длина отрезка BE. Радиус OE, проведенный в точку касания E, перпендикулярен стороне угла BE, поэтому треугольник BOE является прямоугольным с прямым углом при вершине E ($\angle OEB = 90^\circ$).

Центр окружности, вписанной в угол, находится на его биссектрисе. Значит, BO — биссектриса угла B. Угол OBE равен половине угла B:

$\angle OBE = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике BOE катет OE равен радиусу окружности ($r = 12$ см), а искомый отрезок BE является катетом, прилежащим к углу OBE.

Используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике, имеем:

$\tan(\angle OBE) = \frac{OE}{BE}$

Выразим и найдем длину BE:

$BE = \frac{OE}{\tan(\angle OBE)} = \frac{12}{\tan(30^\circ)}$

Значение $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому:

$BE = \frac{12}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.