Номер 26.3, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.3. а) К двум окружностям радиусами 5 см и 7 см проведена общая касательная, $M$ и $N$ — точки касания. Расстояние между центрами окружностей равно 14 см. Найдите расстояние $MN$, рассмотрев все возможные случаи.

б) К двум окружностям радиусами 3 см и 4 см проведена общая касательная, $A$ и $B$ — точки касания, $AB = 7$ см. Найдите расстояние между центрами окружностей, рассмотрев все возможные случаи.

а)

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1 = 5$ см и $r_2 = 7$ см — их радиусы. Расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 14$ см. $M$ и $N$ — точки касания на первой и второй окружности соответственно. Длина отрезка общей касательной между точками касания равна $MN$.

Существует два возможных случая расположения общей касательной: внешняя и внутренняя.

Случай 1: Внешняя касательная

В этом случае обе окружности лежат по одну сторону от касательной. Опустим радиусы $O_1M$ и $O_2N$ к точкам касания. Они будут перпендикулярны касательной $MN$, а значит, параллельны друг другу ($O_1M \parallel O_2N$). Фигура $O_1MNO_2$ — прямоугольная трапеция с основаниями $O_1M$ и $O_2N$.

Проведем из центра меньшей окружности $O_1$ прямую, параллельную $MN$, до пересечения с радиусом $O_2N$ в точке $K$. Получим прямоугольник $MNKO_1$ и прямоугольный треугольник $\triangle O_1KO_2$.

В прямоугольнике $MNKO_1$: $MN = O_1K$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$:

• Гипотенуза $O_1O_2 = d = 14$ см.
• Катет $O_2K = O_2N - KN = O_2N - O_1M = r_2 - r_1 = 7 - 5 = 2$ см.
• Катет $O_1K$, который равен искомому расстоянию $MN$.

По теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$.

$d^2 = MN^2 + (r_2 - r_1)^2$

$14^2 = MN^2 + (7 - 5)^2$

$196 = MN^2 + 2^2$

$196 = MN^2 + 4$

$MN^2 = 192$

$MN = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Случай 2: Внутренняя касательная

В этом случае окружности лежат по разные стороны от касательной. Такой случай возможен, так как расстояние между центрами $d=14$ см больше суммы радиусов $r_1 + r_2 = 5 + 7 = 12$ см.

Аналогично первому случаю, $O_1M \perp MN$ и $O_2N \perp MN$, поэтому $O_1M \parallel O_2N$.

Проведем из центра $O_1$ прямую, параллельную $MN$, до пересечения с продолжением радиуса $O_2N$ в точке $K$. Получим прямоугольник $MNKO_1$ и прямоугольный треугольник $\triangle O_1KO_2$.

В прямоугольнике $MNKO_1$: $MN = O_1K$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$:

• Гипотенуза $O_1O_2 = d = 14$ см.
• Катет $O_2K = O_2N + NK = O_2N + O_1M = r_2 + r_1 = 7 + 5 = 12$ см.
• Катет $O_1K = MN$.

По теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$.

$d^2 = MN^2 + (r_1 + r_2)^2$

$14^2 = MN^2 + (5 + 7)^2$

$196 = MN^2 + 12^2$

$196 = MN^2 + 144$

$MN^2 = 52$

$MN = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см или $2\sqrt{13}$ см.

б)

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см — их радиусы. $A$ и $B$ — точки касания. Расстояние между точками касания $AB = 7$ см. Требуется найти расстояние между центрами $d = O_1O_2$.

Рассмотрим два возможных случая, используя формулы, выведенные в пункте а).

Случай 1: Внешняя касательная

Длина отрезка внешней касательной связана с расстоянием между центрами формулой:

$d^2 = AB^2 + (r_2 - r_1)^2$

$d^2 = 7^2 + (4 - 3)^2$

$d^2 = 49 + 1^2$

$d^2 = 50$

$d = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Случай 2: Внутренняя касательная

Длина отрезка внутренней касательной связана с расстоянием между центрами формулой:

$d^2 = AB^2 + (r_1 + r_2)^2$

$d^2 = 7^2 + (3 + 4)^2$

$d^2 = 49 + 7^2$

$d^2 = 49 + 49 = 98$

$d = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$ см.

В обоих полученных случаях расстояние между центрами $d$ больше суммы радиусов $r_1+r_2=7$ см ($5\sqrt{2} \approx 7.07 > 7$ и $7\sqrt{2} \approx 9.9 > 7$), что подтверждает возможность существования обоих типов касательных для данных параметров.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см или $7\sqrt{2}$ см.