Номер 27.5, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.5. a) Угол $ABC$, равный $45^{\circ}$, вписан в окружность диаметром 12 см и опирается на дугу $AC$. Найдите площадь треугольника $AOC$, где $O$ — центр окружности.

б) Угол $MNL$, равный $45^{\circ}$, вписан в окружность с центром $O$ и опирается на дугу $ML$. Площадь треугольника $MOL$ равна $32 \text{ см}^2$. Найдите радиус окружности.

а) По условию задачи, вписанный угол $\angle ABC = 45^{\circ}$ опирается на дугу $AC$. Центральный угол $\angle AOC$, который опирается на ту же дугу $AC$, вдвое больше вписанного угла. Следовательно, $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.
Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности. Диаметр окружности равен 12 см, значит радиус $r = \frac{12}{2} = 6$ см. Таким образом, $OA = OC = 6$ см.
Площадь треугольника $AOC$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Подставим наши значения: $S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(90^{\circ})$.
Так как $\sin(90^{\circ})=1$, получаем: $S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 1 = 18$ см².
Ответ: 18 см².

б) По условию задачи, вписанный угол $\angle MNL = 45^{\circ}$ опирается на дугу $ML$. Центральный угол $\angle MOL$, опирающийся на ту же дугу $ML$, равен удвоенному вписанному углу: $\angle MOL = 2 \cdot \angle MNL = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.
Треугольник $MOL$ образован двумя радиусами $OM$ и $OL$. Обозначим радиус окружности как $r$, тогда $OM = OL = r$. Площадь треугольника $MOL$ известна и равна 32 см².
Используем формулу площади треугольника: $S_{MOL} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot OL \cdot \sin(\angle MOL)$.
Подставим известные значения и выразим площадь через $r$: $32 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin(90^{\circ})$.
Так как $\sin(90^{\circ})=1$, уравнение упрощается до $32 = \frac{1}{2}r^2$.
Отсюда находим $r^2$: $r^2 = 32 \cdot 2 = 64$.
Радиус окружности равен $r = \sqrt{64} = 8$ см (так как радиус должен быть положительной величиной).
Ответ: 8 см.