Номер 26.4, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.4. а) Три окружности, радиусы которых равны 12 см, 8 см и 4 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры данных окружностей.

б) Три окружности, радиусы которых равны 2 см, 3 см и 10 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры данных окружностей.

а) Вершинами искомого треугольника являются центры трех окружностей. Так как окружности попарно касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов.
Пусть радиусы окружностей равны $r_1 = 12$ см, $r_2 = 8$ см и $r_3 = 4$ см.
Тогда стороны треугольника, образованного центрами этих окружностей, будут равны:
$a = r_1 + r_2 = 12 + 8 = 20$ см
$b = r_2 + r_3 = 8 + 4 = 12$ см
$c = r_3 + r_1 = 4 + 12 = 16$ см
Площадь треугольника найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.
Вычислим полупериметр:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+12+16}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см
Теперь вычислим площадь:
$S = \sqrt{24(24-20)(24-12)(24-16)} = \sqrt{24 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 8}$
$S = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot 4 \cdot (3 \cdot 4) \cdot 8} = \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 16} = 3 \cdot 8 \cdot 4 = 96$ см².
Ответ: 96 см².

б) Аналогично пункту а), найдем стороны треугольника, вершинами которого являются центры окружностей.
Радиусы окружностей равны $r_1 = 2$ см, $r_2 = 3$ см и $r_3 = 10$ см.
Стороны треугольника равны:
$a = r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$ см
$b = r_2 + r_3 = 3 + 10 = 13$ см
$c = r_3 + r_1 = 10 + 2 = 12$ см
Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$b^2 = 13^2 = 169$
$a^2 + c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
Так как $b^2 = a^2 + c^2$, треугольник является прямоугольным, а его стороны $a$ и $c$ — катетами.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ac = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².
Ответ: 30 см².