Номер 26.2, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.2. a) В угол вписаны две окружности радиусами 8 см и 26 см. Расстояние между центрами окружностей равно 82 см. Найдите расстояние между точками касания, принадлежащими одной и той же стороне угла.

б) В угол вписаны две окружности радиусами 76 см и 26 см. Расстояние между точками касания, принадлежащими одной и той же стороне угла, равно 120 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

а)

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. По условию дано: $r_1 = 8$ см, $r_2 = 26$ см, и расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 82$ см.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла. Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания окружностей с одной из сторон угла. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной (стороне угла). Таким образом, $O_1T_1 \perp T_1T_2$ и $O_2T_2 \perp T_1T_2$. Отсюда следует, что $O_1T_1 \parallel O_2T_2$.

Фигура $O_1T_1T_2O_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1T_1 = r_1$ и $O_2T_2 = r_2$ и прямыми углами при вершинах $T_1$ и $T_2$. Расстояние между точками касания, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $T_1T_2$.

Проведем из центра меньшей окружности $O_1$ отрезок $O_1H$, параллельный стороне $T_1T_2$, до пересечения с радиусом $O_2T_2$. Точка $H$ будет лежать на отрезке $O_2T_2$. В результате образуется прямоугольный треугольник $O_1HO_2$, где $O_1O_2$ — гипотенуза.

Катеты этого треугольника равны:

• $O_1H = T_1T_2$ (так как $O_1T_1T_2H$ — прямоугольник).
• $O_2H = O_2T_2 - HT_2 = O_2T_2 - O_1T_1 = r_2 - r_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1HO_2$: $O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2$ Подставив наши обозначения, получим: $d^2 = (T_1T_2)^2 + (r_2 - r_1)^2$

Выразим искомое расстояние $T_1T_2$: $(T_1T_2)^2 = d^2 - (r_2 - r_1)^2$ Подставим числовые значения: $r_2 - r_1 = 26 - 8 = 18$ см. $d = 82$ см. $(T_1T_2)^2 = 82^2 - 18^2$ Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(T_1T_2)^2 = (82 - 18)(82 + 18) = 64 \cdot 100 = 6400$ $T_1T_2 = \sqrt{6400} = 80$ см.

Ответ: 80 см.

б)

В этом пункте даны радиусы $r_1 = 26$ см и $r_2 = 76$ см, а также расстояние между точками касания $T_1T_2 = 120$ см. Требуется найти расстояние между центрами $d = O_1O_2$.

Мы используем ту же геометрическую конструкцию и ту же формулу, что и в пункте а): $d^2 = (T_1T_2)^2 + (r_2 - r_1)^2$

Сначала найдем разность радиусов: $r_2 - r_1 = 76 - 26 = 50$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу: $d^2 = 120^2 + 50^2$ $d^2 = 14400 + 2500$ $d^2 = 16900$ $d = \sqrt{16900} = \sqrt{169 \cdot 100} = 13 \cdot 10 = 130$ см.

Ответ: 130 см.