Номер 25.3, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.3. Окружность касается сторон угла А в точках В и С. Пользуясь данными рисунков 174, а), б), найдите величину угла А.

а) $\angle BCO = 17^\circ$

б) $\angle CBO = 16^\circ$

Рис. 174

а) Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $OB$ и $OC$ являются радиусами одной окружности, они равны, а значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OBC = \angle BCO$. По условию $\angle BCO = 17^\circ$, значит и $\angle OBC = 17^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем центральный угол $\angle BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle BCO) = 180^\circ - (17^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ$.
Стороны угла $A$ касаются окружности в точках $B$ и $C$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$, а углы $\angle ABO$ и $\angle ACO$ равны $90^\circ$.
Рассмотрим четырехугольник $ABOC$. Сумма его углов составляет $360^\circ$. Зная, что $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$, получаем, что сумма противолежащих углов $\angle A$ и $\angle BOC$ равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle BOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$).
Теперь мы можем найти величину угла $A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.
Ответ: $34^\circ$.

б) Решение этого пункта аналогично предыдущему. В равнобедренном треугольнике $BOC$ (где $OB = OC$ как радиусы) углы при основании равны. По условию $\angle CBO = 16^\circ$, следовательно, $\angle BCO = 16^\circ$.
Найдем центральный угол $\angle BOC$ из треугольника $BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle CBO + \angle BCO) = 180^\circ - (16^\circ + 16^\circ) = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$.
Как было показано ранее, сумма углов $\angle A$ и $\angle BOC$ в четырехугольнике $ABOC$ равна $180^\circ$.
Следовательно, величина угла $A$ равна:
$\angle A = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$.
Ответ: $32^\circ$.