Номер 25.1, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.1. По данным рисунков 172, а), б) найдите величину угла $\alpha$ между двумя касательными к окружности.

а)$112^\circ$

$\alpha$

б)$134^\circ$

$\alpha$

Рис. 172

а)

Рассмотрим четырехугольник $ABOC$. В нем $O$ - центр окружности, $A$ - точка пересечения касательных, $B$ и $C$ - точки касания.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$, и радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AC$.

Это означает, что углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми, то есть $\angle OBA = 90^\circ$ и $\angle OCA = 90^\circ$.

По условию задачи, центральный угол $\angle BOC = 112^\circ$. Искомый угол между касательными — это $\angle BAC = \alpha$.

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABOC$ имеем: $\angle BAC + \angle OBA + \angle BOC + \angle OCA = 360^\circ$.

Подставим известные значения в формулу: $\alpha + 90^\circ + 112^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Выполним сложение: $\alpha + 292^\circ = 360^\circ$.

Найдем $\alpha$: $\alpha = 360^\circ - 292^\circ = 68^\circ$.

Ответ: $68^\circ$.

б)

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. В нем $O$ - центр окружности, $C$ - точка пересечения касательных, $A$ и $B$ - точки касания.

Аналогично пункту а), радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, $OA \perp CA$ и $OB \perp CB$.

Это означает, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми, то есть $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

По условию, центральный угол $\angle AOB = 134^\circ$. Искомый угол между касательными — это $\angle ACB = \alpha$.

Сумма углов четырехугольника $OACB$ равна $360^\circ$: $\angle ACB + \angle OAC + \angle AOB + \angle OBC = 360^\circ$.

Подставим известные значения: $\alpha + 90^\circ + 134^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Выполним сложение: $\alpha + 314^\circ = 360^\circ$.

Найдем $\alpha$: $\alpha = 360^\circ - 314^\circ = 46^\circ$.

Ответ: $46^\circ$.