Номер 27.7, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.7. a) Расстояние от центра окружности до хорды равно 24 см, радиус окружности равен 25 см. Найдите длину хорды.

б) Найдите расстояние от центра окружности радиусом 13 см до хорды, длина которой равна 10 см.

а) Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — хорда. Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OH = 24$ см. Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой на окружности, например, $OA$. Таким образом, $OA = 25$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHA$. Он является прямоугольным, так как $OH \perp AB$. В этом треугольнике:

• $OA$ — гипотенуза (радиус), $OA = 25$ см.
• $OH$ — катет (расстояние до хорды), $OH = 24$ см.
• $AH$ — второй катет.

По теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$.

Найдем длину катета $AH$:
$AH^2 = OA^2 - OH^2$
$AH^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$
$AH = \sqrt{49} = 7$ см.

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Следовательно, $AH = HB$, и длина всей хорды $AB$ равна:
$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

б) Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — хорда. Длина хорды $AB = 10$ см, радиус окружности $OA = 13$ см. Нам нужно найти расстояние от центра до хорды, то есть длину перпендикуляра $OH$, опущенного из $O$ на $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$, где $OH \perp AB$. В этом треугольнике:

• $OA$ — гипотенуза (радиус), $OA = 13$ см.
• $OH$ — катет (искомое расстояние).
• $AH$ — второй катет.

Так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам, то:
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$.
Найдем длину катета $OH$:
$OH^2 = OA^2 - AH^2$
$OH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$OH = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.