Номер 27.8, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.8. a) Центральный угол $\angle AOC$ на $22^\circ$ больше соответствующего вписанного угла $\angle ABC$. Найдите градусную меру вписанного угла $\angle ABC$.

б) Вписанный угол $\angle ABC$ на $28^\circ$ меньше соответствующего центрального угла $\angle AOC$. Найдите градусную меру центрального угла $\angle AOC$.

а)

По свойству углов в окружности, центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае это означает, что $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$.

Пусть градусная мера вписанного угла $\angle ABC$ равна $x$. Тогда градусная мера соответствующего ему центрального угла $\angle AOC$ равна $2x$.

Согласно условию задачи, центральный угол $\angle AOC$ на $22^\circ$ больше вписанного угла $\angle ABC$. Составим уравнение:

$\angle AOC = \angle ABC + 22^\circ$

Подставим наши переменные в уравнение:

$2x = x + 22^\circ$

Решим уравнение относительно $x$:

$2x - x = 22^\circ$

$x = 22^\circ$

Таким образом, градусная мера вписанного угла $\angle ABC$ составляет $22^\circ$.

Ответ: $22^\circ$

б)

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством, что центральный угол $\angle AOC$ в два раза больше вписанного угла $\angle ABC$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$.

Пусть градусная мера центрального угла $\angle AOC$ равна $y$. Тогда градусная мера вписанного угла $\angle ABC$ равна $\frac{y}{2}$.

По условию, вписанный угол $\angle ABC$ на $28^\circ$ меньше центрального угла $\angle AOC$. Составим уравнение на основе этого условия:

$\angle ABC = \angle AOC - 28^\circ$

Подставим наши переменные в это уравнение:

$\frac{y}{2} = y - 28^\circ$

Решим полученное уравнение:

$28^\circ = y - \frac{y}{2}$

$28^\circ = \frac{y}{2}$

$y = 28^\circ \cdot 2$

$y = 56^\circ$

Следовательно, градусная мера центрального угла $\angle AOC$ равна $56^\circ$.

Ответ: $56^\circ$