Номер 27.9, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.9. По данным рисунков 181, а), б) найдите градусную меру угла $\alpha$.

а) $55^\circ$, $O$, $65^\circ$, $\alpha$

б) $60^\circ$, $O$, $40^\circ$, $\alpha$

Рис. 181

a) Угол $\alpha$ является центральным углом, а угол в $65^{\circ}$ — вписанным углом. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу окружности. По свойству углов в окружности, градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, мы можем вычислить значение $\alpha$ следующим образом:

$\alpha = 2 \times 65^{\circ} = 130^{\circ}$

Угол в $55^{\circ}$ является вписанным углом, опирающимся на другую дугу, и для нахождения $\alpha$ не требуется.

Ответ: $130^{\circ}$

б) В данном случае вписанный угол равен $60^{\circ}$. Он опирается на дугу, которой соответствует центральный угол, состоящий из двух смежных углов: $\alpha$ и $40^{\circ}$. Таким образом, величина этого центрального угла равна их сумме: $\alpha + 40^{\circ}$.

Используя то же свойство, что и в пункте а), центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Составим и решим уравнение:

$\alpha + 40^{\circ} = 2 \times 60^{\circ}$

$\alpha + 40^{\circ} = 120^{\circ}$

$\alpha = 120^{\circ} - 40^{\circ}$

$\alpha = 80^{\circ}$

Ответ: $80^{\circ}$