Номер 28.3, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.3. По данным рисунков 193, а), б) найдите градусную меру дуги AB.

а) $112^\circ$, $42^\circ$, $A$, $B$

б) $18^\circ$, $63^\circ$, $A$, $B$

Рис. 193

а) Угол, образованный двумя секущими, которые пересекаются вне окружности, равен половине разности большей и меньшей дуг, высекаемых секущими на окружности.

Обозначим искомую градусную меру дуги $AB$ как $x$. По данным рисунка, угол между секущими равен $42^\circ$, а градусная мера большей дуги, которую они высекают, равна $112^\circ$.

Согласно теореме об угле между двумя секущими, мы можем составить уравнение:

$42^\circ = \frac{112^\circ - \cup AB}{2}$

Чтобы найти $\cup AB$, решим это уравнение:

$42^\circ \cdot 2 = 112^\circ - \cup AB$

$84^\circ = 112^\circ - \cup AB$

$\cup AB = 112^\circ - 84^\circ$

$\cup AB = 28^\circ$

Ответ: $28^\circ$.

б) Для нахождения градусной меры дуги $AB$ воспользуемся двумя теоремами: о вписанном угле и об угле между пересекающимися хордами.

1. Сначала найдем градусную меру дуги, на которую опирается вписанный угол, равный $18^\circ$. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Обозначим концы этой дуги как $C$ и $D$. Тогда:

$\cup CD = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$

2. Теперь используем теорему об угле между двумя пересекающимися хордами. Угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. В нашем случае угол между хордами равен $63^\circ$, и он опирается на дугу $AB$ и дугу $CD$.

Составим уравнение:

$63^\circ = \frac{\cup AB + \cup CD}{2}$

Мы уже нашли, что $\cup CD = 36^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$63^\circ = \frac{\cup AB + 36^\circ}{2}$

Решим уравнение относительно $\cup AB$:

$63^\circ \cdot 2 = \cup AB + 36^\circ$

$126^\circ = \cup AB + 36^\circ$

$\cup AB = 126^\circ - 36^\circ$

$\cup AB = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.