Номер 10.5, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.5. a) Две стороны треугольника равны 3 см и 6 см, а высота, проведенная к третьей стороне, — 2 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

б) Треугольник $ABC$ вписан в окружность, радиус которой равен 10 см, $BH$ — высота треугольника $ABC$, $BH = 1$ см, $AB = 4$ см. Найдите $BC$.

а)

Пусть в треугольнике даны стороны $a = 3$ см, $b = 6$ см и высота $h_c = 2$ см, проведенная к третьей стороне $c$. Необходимо найти радиус $R$ описанной окружности.
Формула для радиуса окружности, описанной около треугольника, имеет вид:
$R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.
Площадь треугольника можно также выразить через сторону $c$ и высоту $h_c$, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.
Подставим это выражение для площади в формулу для радиуса:
$R = \frac{abc}{4 \cdot (\frac{1}{2} c \cdot h_c)} = \frac{abc}{2ch_c}$.
Сократив в числителе и знаменателе сторону $c$, получим формулу, связывающую радиус описанной окружности, две стороны треугольника и высоту, проведенную к третьей стороне:
$R = \frac{ab}{2h_c}$.
Теперь подставим известные значения в полученную формулу: $a=3$ см, $b=6$ см, $h_c=2$ см.
$R = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

б)

В треугольнике $ABC$ известны: радиус описанной окружности $R = 10$ см, сторона $AB = c = 4$ см и высота $BH = h_b = 1$ см (проведенная к стороне $AC=b$). Требуется найти длину стороны $BC = a$.
Воспользуемся известной формулой для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S$ - его площадь.
Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через основание $AC=b$ и проведенную к нему высоту $BH=h_b$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} b h_b$.
Подставим это выражение для площади в формулу для радиуса:
$R = \frac{abc}{4 \cdot (\frac{1}{2} b h_b)} = \frac{abc}{2bh_b}$.
Сократив сторону $b$, получим соотношение:
$R = \frac{ac}{2h_b}$.
Из этой формулы выразим искомую сторону $a = BC$:
$a = \frac{2Rh_b}{c}$.
Подставим известные значения: $R=10$ см, $h_b=1$ см, $c=4$ см.
$a = \frac{2 \cdot 10 \cdot 1}{4} = \frac{20}{4} = 5$ см.

Ответ: 5 см.