Номер 10.10, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.10. a) Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ делит угол $BAD$ на два угла, величины которых — $\beta$ и $\varphi$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $AC = a$.

б) В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) угол $BCA$ равен $\beta$, угол $CDA$ равен $\varphi$, $AD = n$. Найдите площадь трапеции.

а)

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна удвоенной площади треугольника, на которые его делит диагональ $AC$. Найдем площадь треугольника $ADC$.

По условию, диагональ $AC$ делит угол $BAD$ на два угла, так что пусть $\angle BAC = \beta$ и $\angle CAD = \varphi$. Тогда весь угол $\angle BAD = \beta + \varphi$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AC$ является секущей. Поэтому накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны. Таким образом, $\angle BCA = \varphi$.

Аналогично, стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Прямая $AC$ является секущей. Поэтому накрест лежащие углы $\angle DCA$ и $\angle BAC$ равны. Таким образом, $\angle DCA = \beta$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Мы знаем длину стороны $AC = a$ и два прилежащих к ней угла: $\angle CAD = \varphi$ и $\angle DCA = \beta$.

Третий угол треугольника, $\angle ADC$, можно найти, зная, что сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - (\beta + \varphi)$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей сторону и два прилежащих угла: $S_{\triangle ADC} = \frac{AC^2 \cdot \sin(\angle CAD) \cdot \sin(\angle DCA)}{2 \sin(\angle ADC)}$

Подставим известные значения: $S_{\triangle ADC} = \frac{a^2 \sin\varphi \sin\beta}{2 \sin(180^\circ - (\beta + \varphi))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем: $S_{\triangle ADC} = \frac{a^2 \sin\beta \sin\varphi}{2 \sin(\beta + \varphi)}$

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ADC}$: $S_{ABCD} = 2 \cdot \frac{a^2 \sin\beta \sin\varphi}{2 \sin(\beta + \varphi)} = \frac{a^2 \sin\beta \sin\varphi}{\sin(\beta + \varphi)}$

Ответ: $S_{ABCD} = \frac{a^2 \sin\beta \sin\varphi}{\sin(\beta + \varphi)}$

б)

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Известно, что $AD = n$, $\angle CDA = \varphi$ и $\angle BCA = \beta$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), прямая $AC$ является секущей. Накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны, следовательно, $\angle CAD = \beta$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В нем известна сторона $AD = n$ и два прилежащих к ней угла: $\angle CAD = \beta$ и $\angle CDA = \varphi$. Третий угол треугольника, $\angle ACD$, равен $180^\circ - (\varphi + \beta)$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

1. Найдем высоту $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ высота $h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDA) = CD \cdot \sin\varphi$.

2. Найдем боковую сторону $CD$ из треугольника $ADC$ по теореме синусов: $\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}$ $\frac{CD}{\sin\beta} = \frac{n}{\sin(180^\circ - (\varphi + \beta))} = \frac{n}{\sin(\varphi + \beta)}$ Отсюда $CD = \frac{n \sin\beta}{\sin(\varphi + \beta)}$.

3. Теперь можем найти высоту $h$: $h = CD \cdot \sin\varphi = \frac{n \sin\beta \sin\varphi}{\sin(\varphi + \beta)}$.

4. Найдем меньшее основание $BC$. В равнобедренной трапеции, если провести обе высоты $BK$ и $CH$, то отрезок $HD = \frac{AD - BC}{2}$. Из прямоугольного треугольника $CHD$: $HD = CD \cdot \cos\varphi$. Тогда $BC = AD - 2 \cdot HD = n - 2 \cdot CD \cdot \cos\varphi$. $BC = n - 2 \cdot \frac{n \sin\beta}{\sin(\varphi + \beta)} \cdot \cos\varphi = n \left(1 - \frac{2\sin\beta\cos\varphi}{\sin(\varphi + \beta)}\right)$ $BC = n \frac{\sin(\varphi + \beta) - 2\sin\beta\cos\varphi}{\sin(\varphi + \beta)}$ Раскроем синус суммы: $\sin(\varphi + \beta) = \sin\varphi\cos\beta + \cos\varphi\sin\beta$. Числитель дроби примет вид: $\sin\varphi\cos\beta + \cos\varphi\sin\beta - 2\sin\beta\cos\varphi = \sin\varphi\cos\beta - \cos\varphi\sin\beta = \sin(\varphi - \beta)$. Таким образом, $BC = \frac{n \sin(\varphi - \beta)}{\sin(\varphi + \beta)}$.

5. Вычислим площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{n + \frac{n \sin(\varphi - \beta)}{\sin(\varphi + \beta)}}{2} \cdot \frac{n \sin\beta \sin\varphi}{\sin(\varphi + \beta)}$ $S = \frac{n}{2} \frac{\sin(\varphi + \beta) + \sin(\varphi - \beta)}{\sin(\varphi + \beta)} \cdot \frac{n \sin\beta \sin\varphi}{\sin(\varphi + \beta)}$

Используем формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}$. $\sin(\varphi + \beta) + \sin(\varphi - \beta) = 2\sin\varphi\cos\beta$.

Подставим это в выражение для площади: $S = \frac{n}{2} \frac{2\sin\varphi\cos\beta}{\sin(\varphi + \beta)} \cdot \frac{n \sin\beta \sin\varphi}{\sin(\varphi + \beta)} = \frac{n^2 \sin^2\varphi \sin\beta \cos\beta}{\sin^2(\varphi + \beta)}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta\cos\beta = \sin(2\beta)$, получим окончательное выражение: $S = \frac{n^2 \sin^2\varphi \sin(2\beta)}{2\sin^2(\varphi + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{n^2 \sin^2\varphi \sin(2\beta)}{2\sin^2(\varphi + \beta)}$