Номер 11.4, страница 155 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.4. a) Найти сторону треугольника, если сумма прилежащих к ней углов равна $60^\circ$, а две другие стороны — 5 см и 3 см.

б) Найти сторону треугольника, если сумма прилежащих к ней углов равна $30^\circ$, а две другие стороны — $\sqrt{3}$ см и 1 см.

а) Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Искомая сторона — $c$, а две другие стороны — $a = 5$ см и $b = 3$ см. Углы, прилежащие к стороне $c$, обозначим как $\alpha$ и $\beta$. Угол, противолежащий стороне $c$, обозначим как $\gamma$.

По условию, сумма прилежащих к искомой стороне углов равна $60°$, то есть $\alpha + \beta = 60°$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Мы можем найти третий угол $\gamma$, который находится напротив искомой стороны $c$:

$\gamma = 180° - (\alpha + \beta) = 180° - 60° = 120°$.

Теперь мы знаем две стороны ($a = 5$ см, $b = 3$ см) и угол между ними ($\gamma = 120°$). Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120°)$

Мы знаем, что $\cos(120°) = - \cos(60°) = -\frac{1}{2}$.

$c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34 + 15$

$c^2 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

б) Решим эту задачу аналогично предыдущей. Пусть искомая сторона — $c$, а две другие стороны — $a = \sqrt{3}$ см и $b = 1$ см. Сумма прилежащих к стороне $c$ углов $\alpha$ и $\beta$ равна $30°$.

$\alpha + \beta = 30°$.

Найдем угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$:

$\gamma = 180° - (\alpha + \beta) = 180° - 30° = 150°$.

Применим теорему косинусов для нахождения стороны $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения:

$c^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos(150°)$

Мы знаем, что $\cos(150°) = - \cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$c^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 4 + \frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2}$

$c^2 = 4 + 3$

$c^2 = 7$

$c = \sqrt{7}$ см.

Ответ: $\sqrt{7}$ см.