Номер 11.2, страница 155 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.2. a) Найдите косинус наименьшего угла треугольника, если его стороны равны $2\sqrt{3}$ см, 7 см, 5 см.

б) Найдите косинус наибольшего угла треугольника, если его стороны равны $4\sqrt{3}$ см, 6 см, 5 см.

а)

Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника, нужно сначала определить, какой из углов является наименьшим. В любом треугольнике наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны.

Даны стороны треугольника: $a = 2\sqrt{3}$ см, $b = 7$ см, $c = 5$ см.

Сравним длины сторон. Для этого удобно сравнить их квадраты:

$a^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$b^2 = 7^2 = 49$

$c^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $12 < 25 < 49$, то $a < c < b$. Следовательно, наименьшая сторона – это $a = 2\sqrt{3}$ см. Наименьший угол, обозначим его $\alpha$, лежит напротив этой стороны.

Для нахождения косинуса угла $\alpha$ воспользуемся теоремой косинусов, которая для стороны $a$ выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

Выразим из этой формулы $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим значения длин сторон:

$\cos(\alpha) = \frac{7^2 + 5^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 12}{70} = \frac{62}{70}$

Сократим полученную дробь:

$\cos(\alpha) = \frac{31}{35}$

Ответ: $\frac{31}{35}$.

б)

Чтобы найти косинус наибольшего угла треугольника, нужно определить, какой из углов является наибольшим. В любом треугольнике наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны.

Даны стороны треугольника: $a = 4\sqrt{3}$ см, $b = 6$ см, $c = 5$ см.

Сравним длины сторон, сравнив их квадраты:

$a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

$b^2 = 6^2 = 36$

$c^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $48 > 36 > 25$, то $a > b > c$. Следовательно, наибольшая сторона – это $a = 4\sqrt{3}$ см. Наибольший угол, обозначим его $\alpha$, лежит напротив этой стороны.

Воспользуемся теоремой косинусов для стороны $a$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

Выразим из формулы $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим значения длин сторон:

$\cos(\alpha) = \frac{6^2 + 5^2 - (4\sqrt{3})^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{36 + 25 - 48}{60} = \frac{61 - 48}{60} = \frac{13}{60}$

Ответ: $\frac{13}{60}$.