Номер 10.8, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.8. a) Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Меньшее основание $BC$ равно 10 см. Найдите среднюю линию трапеции, если $\sin \angle BAC = \frac{1}{5}$, $\sin \angle ABD = \frac{6}{25}$.

б) Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Ее основания $AD$ и $BC$ равны 16 см и 14 см соответственно. Найдите угол $BDC$, если синус угла $ACD$ равен $\frac{4}{7}$.

а) Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Все вершины трапеции лежат на одной окружности, которая является описанной для треугольников, образованных вершинами трапеции, например, для $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По обобщенной теореме синусов, отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{BC}{\sin\angle BAC} = 2R$

Подставим известные значения: $BC = 10$ см и $\sin\angle BAC = \frac{1}{5}$.

$\frac{10}{1/5} = 2R$

$50 = 2R$

Таким образом, диаметр описанной окружности равен 50 см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$, который также вписан в эту же окружность. Применим теорему синусов для него, чтобы найти длину основания $AD$. Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD$.

$\frac{AD}{\sin\angle ABD} = 2R$

Подставим известные значения: $2R = 50$ см и $\sin\angle ABD = \frac{6}{25}$.

$AD = 2R \cdot \sin\angle ABD = 50 \cdot \frac{6}{25} = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется как полусумма оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

$m = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$ см.

Ответ: 11 см.

б) Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, следовательно, она является равнобедренной. Все ее вершины лежат на одной и той же описанной окружности.

Рассмотрим треугольник $ACD$, вписанный в эту окружность. По теореме синусов, отношение стороны $AD$ к синусу противолежащего угла $\angle ACD$ равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{AD}{\sin\angle ACD} = 2R$

Подставим известные значения: $AD = 16$ см и $\sin\angle ACD = \frac{4}{7}$.

$\frac{16}{4/7} = 2R$

$16 \cdot \frac{7}{4} = 2R$

$4 \cdot 7 = 2R$

$28 = 2R$

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$, который также вписан в эту окружность. Применим к нему теорему синусов. Угол $\angle BDC$ лежит напротив стороны $BC$.

$\frac{BC}{\sin\angle BDC} = 2R$

Подставим известные значения $BC = 14$ см и $2R = 28$ см:

$\frac{14}{\sin\angle BDC} = 28$

$\sin\angle BDC = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при большем основании острые. В нашей трапеции $AD = 16$ см, а $BC = 14$ см, значит $AD$ — большее основание. Следовательно, угол при основании $\angle CDA$ должен быть острым, то есть $\angle CDA < 90^\circ$.

Угол $\angle CDA$ состоит из двух углов: $\angle CDA = \angle CDB + \angle ADB$. Так как $\angle ADB > 0$ (это угол в треугольнике), то $\angle CDB$ должен быть меньше, чем $\angle CDA$, а значит, $\angle CDB$ также должен быть острым ($\angle CDB < 90^\circ$).

Таким образом, из двух возможных значений ($30^\circ$ и $150^\circ$) нам подходит только острое значение.

$\angle BDC = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.