Номер 10.7, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.7. a) В треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен $\frac{1}{3}$, $AB = 2$ см, $BC = 1\frac{1}{3}$ см. Найдите все возможные величины угла $ACB$.

б) В остроугольном треугольнике $ABC$ $AB = 3\sqrt{2}$ см, $BC = 4$ см, синус угла $C$ равен $0,75$. Найдите угол $A$.

a)

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC. Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны. Формула выглядит так:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем случае известны следующие величины:

• Сторона $BC$ (обозначим как $a$) = $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ см.
• Сторона $AB$ (обозначим как $c$) = $2$ см.
• Синус угла $A$, противолежащего стороне $a$, равен $\sin A = \frac{1}{3}$.

Мы ищем величину угла $ACB$, который обозначим как угол $C$. Этот угол противолежит стороне $AB$.

Подставим известные значения в теорему синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{4/3}{1/3} = \frac{2}{\sin C}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{1} = 4$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$4 = \frac{2}{\sin C}$

Отсюда выразим $\sin C$:

$\sin C = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Существует два угла в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, синус которых равен $\frac{1}{2}$:

$C_1 = 30^\circ$

$C_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Теперь нужно проверить, возможен ли треугольник с такими углами. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому должно выполняться условие $A + C < 180^\circ$.

1. Проверим случай $C = 30^\circ$. Нам известно, что $\sin A = \frac{1}{3}$. Поскольку $\sin A > 0$, угол $A$ может быть острым или тупым. Если угол $A$ тупой, то $A > 90^\circ$. Так как $\sin A = 1/3 < 1/2 = \sin 150^\circ$, то тупой угол $A$ должен быть больше $150^\circ$. Тогда $A + C > 150^\circ + 30^\circ = 180^\circ$, что невозможно. Следовательно, угол $A$ должен быть острым. Для острого угла $A$ и угла $C=30^\circ$ сумма $A+C$ очевидно меньше $180^\circ$. Значит, угол $C=30^\circ$ является возможным решением.

2. Проверим случай $C = 150^\circ$. Условие существования треугольника: $A + 150^\circ < 180^\circ$, что означает $A < 30^\circ$. Поскольку $\sin A = \frac{1}{3}$, а $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, и $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, то острый угол $A = \arcsin(1/3)$ действительно меньше $30^\circ$. Угол $A$ не может быть тупым, так как $A+C$ превысило бы $180^\circ$. Следовательно, это условие также выполняется.

Таким образом, оба значения для угла $ACB$ возможны.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.

б)

Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой синусов. По условию, треугольник ABC является остроугольным, то есть все его углы меньше $90^\circ$.

Известные данные:

• Сторона $AB$ (обозначим как $c$) = $3\sqrt{2}$ см.
• Сторона $BC$ (обозначим как $a$) = $4$ см.
• Синус угла $C$, противолежащего стороне $c$, равен $\sin C = 0,75 = \frac{3}{4}$.

Нам нужно найти угол $A$, который противолежит стороне $BC$.

Запишем соотношение из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2}}{3/4}$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{3\sqrt{2}}{3/4} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{4}{3} = 4\sqrt{2}$

Получаем уравнение:

$\frac{4}{\sin A} = 4\sqrt{2}$

Выразим $\sin A$:

$\sin A = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Углы в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, синус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это:

$A_1 = 45^\circ$

$A_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Согласно условию задачи, треугольник $ABC$ является остроугольным. Это означает, что все его углы должны быть меньше $90^\circ$.

Значение $A = 135^\circ$ является тупым углом, поэтому оно не подходит по условию задачи.

Значение $A = 45^\circ$ является острым углом. Проверим, могут ли остальные углы быть острыми. Поскольку $\sin C = 3/4 < 1$ и треугольник остроугольный, угол $C$ острый ($C = \arcsin(3/4) \approx 48.6^\circ$). Тогда третий угол $B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - \arcsin(3/4) = 135^\circ - \arcsin(3/4)$. Так как $\arcsin(3/4) > \arcsin(1/2)=30^\circ$, то $B < 105^\circ$. И так как $\sin(45^\circ) = \sqrt{2}/2 \approx 0.707 < 3/4$, то $C > 45^\circ$, значит $B < 135^\circ-45^\circ = 90^\circ$. Все углы острые, условие выполняется.

Следовательно, единственно возможным значением для угла $A$ является $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.