Номер 10.11, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.11. a) В треугольнике ABC $\angle B = 105^\circ$, $BC = 20$. Высота BH равна 10. Найдите периметр треугольника ABC.

б) В треугольнике ABC $\angle B = 105^\circ$, $BC = 10$. Высота BH равна $5\sqrt{2}$. Найдите периметр треугольника ABC.

а)

1. Поскольку $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$, треугольник $BHC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BHC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BC = 20$ и катет $BH = 10$.
Найдем синус угла $C$:
$\sin(\angle C) = \frac{BH}{BC} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
Из этого следует, что $\angle C = 30^\circ$.

2. Теперь в треугольнике $ABC$ нам известны два угла: $\angle B = 105^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Найдем третий угол $A$ по теореме о сумме углов треугольника:
$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ$.

3. Периметр треугольника $ABC$ равен $P = AB + BC + AC$. Нам нужно найти длины сторон $AB$ и $AC$. Высота $BH$ делит сторону $AC$ на два отрезка $AH$ и $HC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$. Так как $\angle A = 45^\circ$, то $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $BHA$ — равнобедренный, и $AH = BH = 10$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Найдем катет $HC$ по теореме Пифагора:
$HC^2 = BC^2 - BH^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$.
$HC = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.
Теперь найдем длину стороны $AC$:
$AC = AH + HC = 10 + 10\sqrt{3}$.

4. Длину стороны $AB$ найдем из прямоугольного треугольника $BHA$. $AB$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.
$AB = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.

5. Теперь можем вычислить периметр треугольника $ABC$:
$P = AB + BC + AC = 10\sqrt{2} + 20 + (10 + 10\sqrt{3}) = 30 + 10\sqrt{2} + 10\sqrt{3}$.

Ответ: $30 + 10\sqrt{2} + 10\sqrt{3}$.

б)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ ( $\angle BHC = 90^\circ$ ). В нем известна гипотенуза $BC = 10$ и катет $BH = 5\sqrt{2}$.
Найдем синус угла $C$:
$\sin(\angle C) = \frac{BH}{BC} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Отсюда следует, что $\angle C = 45^\circ$.

2. Найдем угол $A$ в треугольнике $ABC$ по теореме о сумме углов треугольника:
$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.

3. Найдем длины сторон $AB$ и $AC$. Высота $BH$ делит сторону $AC$ на отрезки $AH$ и $HC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Так как $\angle C = 45^\circ$, он является равнобедренным, и $HC = BH = 5\sqrt{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA$. Найдем катет $AH$:
$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} \implies AH = \frac{BH}{\tan(30^\circ)} = \frac{5\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}$.
Теперь найдем длину стороны $AC$:
$AC = AH + HC = 5\sqrt{6} + 5\sqrt{2}$.

4. Длину стороны $AB$ найдем из прямоугольного треугольника $BHA$. $AB$ — гипотенуза.
$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB} \implies AB = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{5\sqrt{2}}{1/2} = 10\sqrt{2}$.

5. Вычислим периметр треугольника $ABC$:
$P = AB + BC + AC = 10\sqrt{2} + 10 + (5\sqrt{6} + 5\sqrt{2}) = 10 + 15\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$.

Ответ: $10 + 15\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$.